全微分記号と偏微分記号が混じった式の導出

質問

拡散方程式を解く過程でわからない式があります。多分、単純にxでの微分をqという変数の微分に変換するための式変換だと思います。

(∂^2/∂x^2)C = (d^2/dq^2)C*(∂q/∂x)^2 + (dC/dq)(∂^2/∂x^2)

どのような式から出発してこのような結果になるのでしょうか。

回答No.1

connykelly · ベストアンサー

話の前後が分からないので式の展開だけ。。。
偏微分は多変数の場合の微分で常微分は1変数の場合の微分ですね。今、Cはqだけの関数C=C(q)として、qはxと他の関数としますq=q(x,・・)。そうすると(∂^2/∂x^2)C=∂/∂x(∂C/∂x)=∂/∂x[(dC/dq)・(∂q/∂x)]となりますね。あとは積の関数を微分するだけですから公式に従って∂/∂x[(dC/dq)・(∂q/∂x)]=[d/dq(dC/dq)∂q/∂x・(∂q/∂x)+dC/dq・∂/∂x(∂q/∂x)]=(d^2C/dq^2)(∂^2q/∂x^2)+(dC/dq)(∂^2/∂x^2)ということでいいのではないでしょうか。ご確認ください。

お礼

ありがとうございます。うまくできました。最後にもう一つだけ。
>=∂/∂x(∂C/∂x)=∂/∂x[(dC/dq)・(∂q/∂x)]となりますね
この部分で∂/∂xが(d/dq)(∂q/∂x)となっていますが、∂/∂qではなく、d/dqなのはCがqのみの変数だからですね。もし、Cがq以外の変数をもつ場合は∂/∂qとして変形すればよろしいのでしょうか。変数変換のときのdや∂は微分される変数が一変数関数なのか、二変数関数なのか判断しながら書き換えるケースバイケースでやるものなのでしょうか。

回答No.2

connykelly

>変数変換のときのdや∂は微分される変数が一変数関数なのか、二変数関数なのか判断しながら書き換えるケースバイケースでやるものなのでしょうか。

dか∂かで式を見た瞬間気分が変わりますね。dであれば一変数なので，これは楽だワイとホットするというか。。。(笑い），ということでｄと∂をきっちり区分けするということは現象を捉える上で大事なことだと思います。

お礼

ありがとうございました。これからはきちんと意識したいと思います。