偏微分方程式に関する問題
偏微分方程式に関する以下の問いに答えなさい。
ある２次元スカラー関数φ(x,y)に対し、流速ベクトルq=(q_x,q_y)が存在し、以下の関係を満たすものとする（q_xとはqに下付きでxということ、q_yに関しても同じ、以下、下付きの文字の前には_を置く）。
ベクトルq=-β(∂φ/∂x, ∂φ/∂y) (a)
さらにスカラーφの時間変化率∂φ/∂tについて、以下のバランス式が成立しているものとする。
-α(∂φ/∂t)=((∂q_x)/∂x)+((∂q_y)/∂y) (b)
ただし、x、yは２次元直交（デカルト）座標系、tは時間、α、βは定数、とする。
(1)式(a)を(b)に代入してq_x、q_yを消去し、φを従属変数とする偏微分方程式（直交座標系使用）を導け。
(2)上記偏微分方程式で右辺項を０とした方程式は、特に何と呼ばれるか。
(3)上記(2)の場合に相当する数物理学現象を１つ示せ。
(4)φ=X(x)Y(y)と解の形を仮定し、上記(2)の偏微分方程式に代入し、X(x)、Y(y)それぞれに対する常微分方程式を導け。
最初の(1)問目から躓いています・・・
(a)式より、q_x=-β(∂φ/∂x)、q_y=-β(∂φ/∂y)となり、これを(b)式に代入しました。計算していくと、
α(∂φ/∂t)=β(((∂^2)φ/∂x^2)+((∂^2)φ/∂y^2))となりました。
答えはこんな感じでいいんですか？
それとも、さらに変形するべきなのか・・・
そして、(2)問目です。
まず、名前についてなんですが、斉次方程式（同次方程式）でいいんですか？
それとも、放物型とか双曲型とか楕円型とかそのようなことを書いたらいいのか…。
候補としては、一瞬Laplace方程式かなって思ったり・・・
個人的には斉次方程式かなと思うのですが・・・
そして、０にするというのもいまいちわかっていません。
実際(1)の答えがよく求まっていないので、どこを０にしたらいいのか
微妙というのもあるのですが…。
個人的には、α=0と置くのかなとも思ったのですが・・・
分からなくなってきました・・・
(3)(4)についても何か教えていただけると嬉しいです。
特に(1)(2)の質問お願いします。
あと、できれば(3)も・・・
問題数が多く、大変申し訳なく思うのですが、何かヒントだけでもいただけると嬉しいです。
