Y=Xの（1/2)乗の微分について。

質問

Y＝Xの(1/2)乗　の微分は、
『Y=Xのｎ乗の微分公式Y'=ｎXの(n-1)乗』を用い、
Y'=(1/2)Xの(-1/2)乗になります。

ところで上の微分公式について、ｎが自然数の時は微分の定義に式を入れ、展開していって理解ができますが、ｎが自然数以外(分数)のときでもどうして成り立つかを、おしえて下さい。

※電気関係の試験勉強のため、数学を復習し直している者です。学校では、何の疑問も無かった（もしかすると疑問があっても考える余裕が無かった）箇所で詰まってしまって・・・

回答No.1

starflora · ベストアンサー

ｙ＝ｘ^(1/n)　　n は整数とします。

　　これを微分するのですが、両辺をｎ乗します、すると：

　　y^n = x　　　となり、これをｘで微分すると：

　　n(y^(n-1))・(dy/dx) = 1　　となります。

　　求めるのは、dy/dx です。だから、左辺にかかっている項を右辺に移すと：
　　dy/dx = (1/n)(1/y^(n-1))

　　ところで、y = x^(1/n)　　です。これを代入すると：

　　dy/dx = (1/n)(1/x^((1/n)・(n-1)) = (1/n)(1/x^(n-1/n))
　　　　　= (1/n)(1/x^(1-1/n)) = (1/n)(x^([1/n] -1))

　　つまり：
　　dy/dx = (1/n)(x^([1/n] -1)

　　これで、分数の微分の式になっています。一般の x^(m/n) の場合は、
　　z =x^(m) として、y = z^(1/n) で dy/dx を出すと式が出てきます。*)
　　分数が係数の場合にも微分の公式は成立するのです。

　　*) その式も書いておきます：
　　dz/dx = mx^(m-1)
　　dy/dx = {(1/n)z^([1/n]-1)}(dz/dx)
　　　　　 = {(1/n)x^(m[1-n]/n)}{mx^(m-1)}
　　　　　 = {(m/n)x^([m-mn]/n)+(m-1))}
　　　　　 = (m/n)x^(m-n/n) = (m/n)x^([m/n]-1)

お礼

とてもご丁寧なご回答ありがとうございます。
ばっちり理解できました！！！

（回答の途中の、「y^n をｘで微分する」ところで、ちょっと考えてしまいましたが、合成関数の微分法を使って　　n(y^(n-1))・(dy/dx) となるのだとわかりました。）

お礼が遅くなりまして、すみません。
また教えていただくことがあろうかと思いますのでよろしくお願いします。

回答No.2

stomachman

対数を使う方法もあります。
y = x^a
ってのはaが実数の場合、x≧0でないと意味不明です。x=0の場合を除くことにしますと、x,yはいずれも正の値。だから両辺の自然対数が計算できて
ln(y) = a ln(x)
こいつをxで微分いたします。
左辺は
∂ln(y)/∂x = (1/y)(∂y/∂x)
右辺は
a (∂ln(x)/∂x) = a/x
従って、
(1/y)(∂y/∂x) = a/x
ゆえに
∂y/∂x = a (y/x) = a (x^(a-1))

お礼

ご回答まことにありがとうございます。
理解できました！！！

実は、対数の微分公式を完全に忘れていましたが、テキストで理解できました。

お礼がおそくなりましてすみません。
また、質問させていただくかと思いますのでよろしくお願いします。