とき方を教えて下さい。数Iです

質問

図のように1辺の長さが10m、もう1辺の長さが4mの平行四辺形ABCDがある。点PはAからBへ毎秒2mの速さで進み、同時に点QはCからDへ毎秒1mの速さで進む。

(1)PおよびQが同時に出発してからx秒後のPとQの距離をtとする。tを表す式を求めなさい。
(2)tが最小になるのは、出発してから何秒後かを求めなさい。
(3)tが最小になるときの値を求めなさい。

よろしくお願いします。

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

点Aを原点としても題意に反しない。
点Pの初期位置：(0, 0)
点Qの初期位置：(12, 2√3)

点Pのx秒後の位置：(2x, 0)
点Qのx秒後の位置：(12－x, 2√3)

PQのx秒後の距離の2乗
=(3x－12)^2+12
=9x^2－72x+156
=9(x^2－8x)+156
=9(x^2－8x+16－16)+156
=9(x－4)^2+12 …… (1)
∴t=√{9(x－4)^2+12}　（ただし、0≦x≦5)

tが最小になるxは(1)式が最小になるxと同じである。
(1)式はx=4のとき最小値12
∴tが最小になるのは4秒後
そのときのtの値=√12=2√3

回答No.5

info22_

#1です。

A#1に間違いが有りましたので以下のように訂正します。

(1)
>三平方の定理より
>t=√(4^2+(10-3x)^2)=√(9x^2-60x+116) (0≦x≦5)
正：t=√((4sin60°)^2+(10+4cos60°-3x)^2)=√(12+(12-3x)^2)=√(9x^2-72x+156) (0≦x≦5)

(2)
>t^2=9x^2-60x+116=9(x-(10/3))^2 +16≧16　…(★)
>x=10/3秒後にt^2は最小となる。つまりこのときtは最小となる。
>答えはx=10/3(秒)後
正：t^2=9x^2-72x+156=9(x-4)^2 +12≧12　…(★)
正：x=4 秒後にt^2は最小となる。つまりこのとき tは最小となる。
正：答えはx=4(秒)後

(3)
(★)より
>t^2の最小値は16。t>0よりtの最小値は√16=4(m)
正：t^2の最小値は12。t>0よりtの最小値は√12=2√3(m)

以上

回答No.4

asuncion

＞=(3x－12)^2+12
＞=9x^2－72x+156
＞=9(x^2－8x)+156
＞=9(x^2－8x+16－16)+156
＞=9(x－4)^2+12 …… (1)

2～4行目は省略できましたね。
1行目でほとんど平方完成できている状態ですから。

回答No.2

suko22

ｔを三平方の定理から求めてみます。
点Ｃから直線ＡＢに向けて垂線を下ろします。
その垂線と直線との交点をＥとすると、
△ＣＢＥは∠ＥＢＣ＝60°にもつ直角三角形になります。
三角形の辺の比より、（1：2：√3）
ＢＣ＝4より、ＢＥ＝2、ＣＥ＝2√3となります。

点Ａを原点Ｏとします。点Ａから点Ｂの方向にｘ軸をとります。
すると、ｘ秒後の点Ｐの位置は、2ｘとなります。
点Ｑから直線ＡＢにおろした垂線とＡＢとの交点をＱ’とすると、
ｘ秒後の点Ｑ’の位置は、ＡＥ＝10+2＝12より、12-ｘとなります。

よって、ＰＱ’の長さは、｜ＰＱ’｜＝｜12-ｘ-2ｘ｜＝｜12-3ｘ｜
△ＰＱＱ’に注目し、三平方の定理を用いると、
ＰＱ＾2＝ＰＱ’＾2+ＱＱ’＾2
ｔ＾2＝（12-3ｘ）＾2+（2√3）＾2（∵ＱＱ’＝ＣＥより）
式を整理するとｔ＝√（9ｘ＾2-72ｘ+156）

(2)ルートのカッコ内を平方完成するとｔ＝√｛9（ｘ-4）＾2+12｝
ｔが最小になるのはｘ＝4のとき。よって、4秒後。

(3)ｘ＝4のときｔ＝√12＝2√3

回答No.1

info22_

(1)
三平方の定理より
t=√(4^2+(10-3x)^2)=√(9x^2-60x+116) (0≦x≦5)

(2)
t^2=9x^2-60x+116=9(x-(10/3))^2 +16≧16　…(★)
x=10/3秒後にt^2は最小となる。つまりこのときtは最小となる。
答えはx=10/3(秒)後

(3)
(★)より
t^2の最小値は16。t>0よりtの最小値は√16=4(m)