相似

質問

図の長方形ABCDにおいて、点P,QはAを同時に出発し、点Pは辺AB上を毎秒２ｃｍの速さでBに向かって進み、点Qは辺AD上を毎秒１ｃｍの速さでDに向かって進む。
∠QPC＝９０°になるときについて、次の問いに答えなさい。

（１）∠QPC＝９０°となるのは、PとQがAを同時に出発してから何秒後か？

この問題なのですが、△APQ∽△BCPより、ｘ秒後とすると、
と解説にあるのですが、なぜ、△APQと△BCPが同じ三角形なら∠QPC＝９０°になるのですか？
教えてください。

回答No.3

tragicomedy695 · ベストアンサー

相似なら、∠QPAと∠CPBの和が９０になるからですよ。

相似のとき、角は等しいので、
∠QPA＋∠CPB＝∠PCB＋∠CPB
∠PCB＋∠CPB＝１８０－∠CBP＝１８０－９０＝９０

よって、
∠QPA＋∠CPB＝９０
∠APB＝１８０－∠QPA＋∠CPB＝１８０－９０＝９０

となります。
これは相似のときしか成り立ちません。
↑相似でないと、一番初めの∠QPA＋∠CPB＝∠PCB＋∠CPBの部分、
つまり∠QPA＝∠PCBが成り立たないのです

お礼

回答ありがとうございました。
理解できました。

回答No.5

ferien

＞（１）∠QPC＝９０°となるのは、PとQがAを同時に出発してから何秒後か？

＞この問題なのですが、△APQ∽△BCPより、ｘ秒後とすると、と解説にあるのですが、
＞なぜ、△APQと△BCPが同じ三角形なら∠QPC＝９０°になるのですか
質問文がちょっとわかりにくいのですが、多分言いたいことは、
＞なぜ、∠QPC＝９０°なら、△APQ∽△BCPになるのですか
ではないかと思ったので、そのつもりで回答します。

△ＡＰＱと△ＢＣＰとで、
∠ＰＡＱ＝∠ＣＢＰ＝９０°　…（１）
∠ＡＰＱ＋∠ＢＰＣ＝１８０°－∠ＱＰＣ＝９０°
∠ＢＣＰ＋∠ＢＰＣ＝１８０°－∠ＣＢＰ＝９０°
だから、
∠ＡＰＱ＝∠ＢＣＰ…（２）
（１）（２）より、２つの角が等しいから、
△ＡＰＱ∽△ＢＣＰ
のようになるからです。
これから、ＡＱ：ＢＰ＝ＡＰ：ＢＣ
ｘ秒後では、
ＡＱ＝１×ｘ＝ｘ，ＡＰ＝２×ｘ＝２ｘ，ＢＰ＝１２－２ｘ，ＢＣ＝８　だから、
ｘ：（１２－２ｘ）＝２ｘ：８より、
（１２－２ｘ）・２ｘ＝８ｘ
ｘ＝０，４　から、ｘ＝０では△ＡＰＱが作れないから不適。
よって、４秒後

もしも、質問の意味が違っていたら、教えて下さい。

お礼

回答ありがとうございました。
とても参考になりました。

回答No.4

KEIS050162

∠QPCが直角ということは、∠APQ＋∠BPCが９０°になるということです。
△QPAも△CPBも直角三角形ですから、直角以外の残りの二つの角の和は常に９０°です。

なので、角QPCが直角であれば、∠PQA=∠BPCが成り立ち、即ち、この二つの三角形が相似であることになります。

お礼

回答ありがとうございます。
理解できました。

回答No.2

Tacosan

おっと, 数学における「書き方」を忘れてた.

△APQ∽△BCP なら間違いなく ∠QPC＝９０° です. 「△APQ∽△BCP」と書くことによって何と何が対応するのか, あるいは相似であることからどのような関係が得られるのかを考えてみてください.

お礼

回答ありがとうございました。
考えてみたら解決しました。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「相似」と「同じ」は違うんだけど....

あなたの疑問はもっともで, 厳密には相似だからといって ∠QPC＝９０° とは限りません. なので, そのあとで「本当に ∠QPC＝９０° であること」を確認する必要があります. 丁寧な解説ならその辺も書いてあるはず.

... えぇと, 「∠QPC＝９０° なら △APQ∽△BCP」は大丈夫, ですよね?

お礼

回答ありがとうございました。
相似と同じ勘違いしていました。
＞「∠QPC＝９０° なら △APQ∽△BCP」は大丈夫, ですよね?
大丈夫です。