関数の問題です。いまいち理解が・・・

質問

次の関数の問題がよく分かりません。
何かアドバイスをお願いします。

直線Lを次の方程式で定義する。

（ｋ＋１）ｘ＋（１－ｋ）ｙ－４＝０

（１）どのような実数ｋに対してもLが通るような点をすべて答え、図示せよ。
（２）どのような実数kに対してもLが通らないような点をすべて答え、図示せよ。

出来れば図示までしてもらえると嬉しいですが、難しいようなら点のみでも構いません。

回答No.1

staratras · ベストアンサー

（ｋ＋１）ｘ＋（１－ｋ）ｙ－４＝０ …(1)

(1)式はkのどのような実数値についても直線を表します。
これをkについて整理すると
(x-y)k+(x+y-4)=0 …(2)　となります。

ここで(2)は
x-y=0 かつ　x+y-4=0　のときにはkがいかなる実数値であっても成立します。

これを解くと　x=2,y=2 なので、(1)式で表される直線Lは常に点(2,2)を通ります。

k=1 のとき　(1)は2x-4=0 つまりx=2 というx軸に垂直な直線を表します。

k≠1　のとき(1)を変形すると　y=((k+1)/(k-1))x-4/(k-1) …(3)です。
ここで　この直線Lの傾きをf(k)=(k+1)/(k-1)とおくと
　　　　f(k)=1+2/(k-1) であり2/(k-1)≠0なので　
　　　　kがどのような実数値をとっても　f(k)≠1　です。
すなわち(3)で表される定点(2,2)を通る直線は、傾きが1となることだけはありません。

k=1,k≠1の場合をまとめると(1)で表される直線Lはkがどのような実数値であっても
点(2,2)を除くy=x 上の点を通ることはありません。

（補足しますとk≠1のときの(3)で表される直線はx軸に垂直な直線を表すことはできませんが、これは　ｋ=1のときのx=2 でカバーされています）