解の発散について

質問

x[k]は、離散システムのとき
g(x[k+1])=f1(x[k])+f2(x2[x])・・・fn(x[k])
のとき、lim_[n→∞] x[n]　が発散しないための関数f1,..,fn,gの条件としてどのようなものが考えられますか？
よろしくおねがいします。

回答No.1

stomachman

> f2(x2[x])

ってどういうこと？というわけで、この部分は無視することにして、

　当たり前の話ですが、gの逆写像hと f1(x)+・・・fn(x)との合成写像F:
　　F(x) = h( f1(x)+・・・fn(x) )
を考える。これはxの定義域XからXへの写像です。（Xが何でf1,..,fn,gの値域は何かということはとりあえずどうでも良くて、従って"+"がどういう演算なのかもとりあえず無視。）
　そして、適当な出発値の集合Y[0] (Y[0]⊂X)について、Fによる像Y[k+1] = ∪{F(x) | x∈Y[k]}(k=0,1,…)を考える。するとご質問は、集合の列{Y[k]}が収束するかどうか、という話と同じ。Fが不動点を持つ縮小写像になっているかどうか、ナドを考えればいいでしょう。たとえばFが連続なら、不動点は必ずある。それ以上深入りするには、Xの位相がどうなってるかを考えなくちゃいけないだろうな。

補足

xは整数で、f,gはR→Rを想定してます。