数学III 発散の問題

質問

Σ（k=1から2^nまで）（1/k）　≧　n/2 +1
を利用して、Σ（n=1から∞）（1/n）は発散することを示せ。
という問題で、

Sn=Σ（k=1からnまで）（1/k）とおく。
n≧2^m　とすると、条件から　Sn≧Σ（k=1から2^mまで）（1/k）　≧　m/2 +1
ここで、m→∞のときn→∞
よってlim（n→∞）Sn≧lim（m/2+1）=∞
したがって発散する

とかいてありましたが、なぜn≧2^mという仮定をすることができるのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

n に対して n≧2^m となる m をとるのではなく、
m に対して n≧2^m となる n をとるのです。
すると、m→∞ のとき n→∞ となり、
S[n] の部分列 S[2^m] の発散が判って、
S[n] の発散が結論できます。
n≧2^m で n→∞ としても、m がどうなるかは
解らないですからね。

お礼

理解できました。ありがとうございました。

回答No.3

151A48

nに対しn≧2^m　を満たすmが求まるから。
n=1 m=0
n=2 , 3 m=1
n=4 , 5 , 6 , 7 m=2
n=8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 m=3
・・・・・・

のように。

回答No.1

Tacosan

最終的にほしいのが
lim（n→∞）Sn
だから.