数Iの問題です。

質問

数Iの問題です。
下の問題で、答えはあるのですが、途中式・解説がなくて困っています。
分かりやすく教えてもらえるとうれしいです。

半径２の円Oｈに内接する正八角形ABCDEFGHがある。
ACとOBの交点をK、∠AOB＝θとするとき、次のものを求めよ。
(1)OKの長さ
(2)tanθの値

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

回答No.4

toriton_blue

点ABCDEFGHから中心Oへ向けて線を引いてみましょう
すると∠AOB、∠BOC、∠COD・・・・と全部で八つの角ができます
この八つの角の和はもちろん360度です
次に辺AB、BC、CD・・・・・と考えていきます
これら八つの辺は正八角形の辺なので全て長さが同じです
また、辺OA、OB、OC・・・・・は全て同じ長さ（２）です
すると、△AOB、△BOC、△COD・・・・と考えて言った場合どの三角形も対応する3つの辺が等しいので合同となります

合同な三角形の特徴の一つに対応する角度は等しいというものがあります
なので∠AOB、∠BOC、∠COD・・・・の角はすべて同じ大きさです
同じ大きさのものが8つあり、8つの合計が360°ということは1つの角の大きさは360÷8で45°となります

ここで△AKOについて考えます
さっき証明した通り∠AOKは45°　∠AKOは90°なのでこの△AKOはOK＝AKの直角二等辺三角形になります
直角三角形なのでピタゴラスの定理を使い
OK^2+AK^2=2^2
という式が立てられます。
ここでOK=AKなので
OK^2＋OK＾2=4
2OK^2=4
OK^2=2
OK=√2

tanθ=AK/BK
BK=OB-OK
OB=2,OK=√2なので
BK=2-√2
また、△AKOはOK＝AKの直角二等辺三角形なので
AK=√2

よって
tanθ=√2/(2-√2)
分子分母に2+√2をかけると（やっている事は１を掛けているだけ）
(2√2+2)/2
よって
√2+1

お礼

分かりやすく説明ありがとうございました。
参考にさせていただきました。

回答No.3

tn50jp

θ=360/8=45（°)
OK=2cos45°=2*(1/√2）=√2

tan45°=1

お礼

回答ありがとうございました。
参考にさせていただきました。
ありがとうございました。

回答No.2

NMZ1985

(1)三角形OKAは直角二等辺三角形
OK：OA＝１：√2

(2)tanθ＝AK/BK

BKの長さは2－OK

お礼

回答ありがとうございます。
解くことができました。
本当にありがとうございました。

回答No.1

bule_eyes

答えられると思って開いたのにわからんｗ

マッスル！マッスル！

ありがとうございましたm(__)m

補足

返答ありがとうございます。
この場をかりて補足させていただきます。
答えは(1)√2　(2)√2+1
図を載せてあったのですが、不注意で消してしまいました。
図付のものをもう一度質問させていただいたので、
必要でしたらこちら→http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6195440.htmlにお願いします。