数学の問題です。

質問

数学の問題です。
1.１辺の長さが２の正四面体に内接する球の直径を計算しなさい。
答え 3分の√6

2.a＋b＋c＋d＝8を満たす0または正の整数a.b.c.dの組の個数を計算しなさい。
答え 165個

なんですが、どなたか上記の問題の解き方を教えて下さい。お願いします。

回答No.3

OKXavier

1.
四面体OABCのABの中点をM
頂点Oから底面ABCに下ろした垂線の足をH
とすると、三角形OMHにおいて

四面体に内接する球の中心をO'
球の半径をr
とすると（図を参照）

2(√6)/3-r:r=√3:1/(√3)
これから、
r=(√6)/6
したがって
2r=(√6)/3

2.
４種類のものから重複を許して８個取り出す
重複組み合わせの数ですから

4H8=(4+8-1)C8=11C3=156

になります。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

info22_

１について
参考URLに同様な解法が詳しく載っています。
a=2 とすれば 内接球の半径 r が導出されています。

>内接する球の直径を計算しなさい。
上の結果から 直径2r が出てきます。

２はパス。

参考URL：

http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/seishimentai-kyuunaigaisetsu.pdf

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

gohtraw

ヒントだけ。
（１）正四面体の内部にある点から４つの面に下ろした垂線の長さがすべて等しくなるような点を考えると、その垂線の長さＬが求める円の半径になります。一方、ひとつの面の面積をＳとすると、この正四面体の体積は４ＳＬ／３で与えられます。

（２）この問題は、合計値の８を４つの部分に分ける問題と読み替えることができます。もっというと、８つの石の間（左右の端も含む）に棒を置いて仕切っていく（複数の棒を同じ場所においてもいい）のと同じことです。

お礼

回答ありがとうございます。
少し自分でやってみます。