数学Ａの円の問題です。

質問

問題）半径２の外接する２円Ａ,Ｂが,半径５の円Ｏに内接している。
　　　２円Ａ,Ｂに外接し,円Ｏに内接する円Ｃの半径を求めよ。
　　　【※図的には,一つの円の中に３つ（２つが半径同じ。）の円があり,すべてが接している状態です。】←見た目的に簡単に述べてます…。

えと、いろいろ図に書きこんでみて考えてみたのですが…＾＾；わかりませんでした。
どなたか、よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

図で表してみました。
図中に書き込んである式の順に線分の長さを求めて行くだけ。

その中で、次の２つの条件：
● 円の中心を結ぶ直線上に接点があることを利用する。
● 接円の半径と中心間の距離の関係を使う。
● 直角△OADと直角△CADに三平方の定理を適用する。
を使えば円Cの半径rが求められる。

お礼

おおお！
すごい…

ありがとうございました！

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。
この問題ですが、「円の問題」というよりも「三角比の問題」でしょうか？＾＾；

方針としては、次のようになると考えました。
（「いろいろ図に書き込んで」でもされていると思います）
以下では、円の中心をそれぞれ点Ａ、点Ｂ、点Ｃ、点Ｏと表すことにします。
・円Ａと円Ｂの中心を結ぶと、線分ＡＢ＝４
円Ａと円Ｂの接点を点Ｍとすると、この点は線分ＡＢの中点
・円Ａと円Ｏの中心を結ぶと、線分ＯＡ＝５－２＝３
（線分ＯＢも同様に、線分ＯＢ＝３）
・円Ｃの半径をｒとすると
線分ＡＣ＝線分ＢＣ＝２＋ｒ
線分ＯＣ＝５－ｒ

まずは、わかる長さを書きだしたというところです。

(1) 三角形ＯＡＭは直角三角形になります。
よって、ＯＭ＝√(ＯＡ^2- ＯＭ^2)＝√5
角ＡＯＭをθとおくと、cosθ＝√5/3

(2) 次に、三角形ＯＡＣを考えると
角ＡＯＣ＝１８０度－θであるので、
余弦定理を適用して(1)の結果を用いるとｒが求まります。
cos(180度－θ)＝ －cosθを使います。

答えは結構複雑になりました ＾＾

お礼

ありがとうございました！＾＾

回答No.2

gohtraw

円O、A、Bの中心をそれぞれO,A,Bとし、AとBの接点をQとします。すると、OA=3,AQ=2なのでOQ=√５です。
　次に、求める円をO'とし、その中心をO'、その半径をｒとします。すると、△AO'Qは直角三角形なのでO'A＾２＝AQ^2＋O'Q＾２、つまり
（ｒ＋２）＾２＝２＾２＋（OO'＋√５）＾２
また、
５－OO'＝ｒ　なので
これらを連立させればｒが求められます。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

nag0720

円A,B,C,Oの中心をそれぞれ点A,B,C,Oとします。
円A,Bの接点は線分ADの中点になるので、それを点Dとします。
円Cの半径をxとすると、ΔADO、ΔADCは直角三角形なので、
OD=√5
(AD)^2+(CD)^2=(AC)^2
(5-x+√5)^2+2^2=(2+x)^2

これを解けば円Cの半径が求められます。

お礼

ありがとうございました！