数IIICの問題

質問

体積が1である四面体OABCがあり、辺OAの中点をD、三角形ABCの重心をG、
線分AGの中点をM、辺OBをt:1-t (0<t<1) に内分する点をPとする。

(1)OMベクトルをOAベクトル、OBベクトル、OCベクトルを用いて表せ。
(2)平面DMPと辺BCの交点をQとするとき、OQベクトルをtとOBベクトル、OCベクトルを用いて表せ。
　 また、BQ:QCをtを用いて表せ。
(3)(2)の点Qに対し、四面体ODPQの体積Vとするとき、Vをtを用いて表せ。
また、tが0<t<1の範囲を変化するとき、Vの最大値を求めよ。

(1)は、OMベクトル=2/3OAベクトル+1/6OBベクトル+1/6OCベクトル
(2)は、OQベクトル={(3t+1)/2(t+1)}OBベクトル+{(1-t)/2(t+1)}OCベクトル，BQ:QC=1-t:3t+1
となりましたが、(3)が全く分かりません。

ヒントでも構いませんが、出来れば解答、解説をお願いします。

回答No.2

suko22 · ベストアンサー

以下、ベクトル記号は省略。

(1)OM=1/2OA+1/2OG=1/2OA+1/2(1/3OA+1/3OB+1/3OC)=2/3OA+1/6OB+1/6OC・・・答え

(2)BQ:QC=1-s:sとおくと、
　OQ=sOB+(1-s)OC
また、OM=lOP+mOD+nOM(l+m+n=1)
=(m/2+2n/3)OA+(lt+n/6)OB+n/6OC
これらより、s=(3t+1)/(2t+2)
よって、OQ={(3t+1)/2(t+1)}OB+{(1-t)/2(t+1)}OC・・・答え
　 BQ:QC=1-t:3t+1・・・答え

(3)四面体COABと四面体QODPを比べる。
　四面体AOAB=底面△OAB*h/3(hは高さ）
　四面体QODP=底面△ODP*h’/3（h'は高さ）

　体積の比は面積比と高さの比をかけたものになる。
　△OAB=Sとおく。
　△ODP=S*1/2*t（高さが同じで底辺の比が面積比を利用）
　よって△OAB:△ODP=1:t/2

次に高さ。
h:h'=BC:BQ（平面COBにCから平面OABにおろした高さhとQから平面OABにおろした高さh'）←図を描いてよく考えてみてください。
=2t+1:1-t=1:(1-t)/(2t+1)

よって四面体OABC:四面体QODP=1:(t/2)*(1-t)/(2t+2)

　今四面体OABCの体積は１だから、四面体QODP=(t-t^2)/2(2t+2)・・・答え

　V=(t-t^2)/2(2t+2)=-t/4+1/2-2/(4t+4)
V'=-1/4+8/(4t+4)^2
V'=0よりt=-1±√2
増減表を書いて、0<t<1の範囲で最大値を求めると、
　t=-1+√2のときが最大であることがわかる。
　よって、
　V=(3-2√2)/4 (t=-1+√2)・・・答え

計算は自分で必ず確認してください。

お礼

詳しい解説、ありがとうございました。
おかげで最後まで出来ました。

本当にありがとうございました。

回答No.1

151A48

△OPQを底面とみる。これは△OABの面積の(1/2)×t=t/2
高さはCからOABへ下した垂線とQからOABへ下した垂線を比べますが，（２）より
BQ：QC＝(1-t)：(3t+1)なのでQから下した高さはCから下したものの(1-t)/2(1+t)
よってV=(t/2)×(1-t)/2(1+t)=(-t^2 +t)/(4t+4)
Vの最大値は微分して増減を調べます。

お礼

解説ありがとうございました。
おかげで最後まで出来ました。