ベクトル

質問

宿題がでていて考えてもよくわからなかったので
教えてもらいたいです。
お願いします！

OA=3, OC=2である長方形OABCがある。
辺OA,OC上にそれぞれ点P,QをOP:PA=2:1, OQ:QC=3:1となるようにとる。
このとき、PB⊥QAであることを証明せよ。

解き方としてはOAベクトル=aベクトル、OCベクトル=cベクトルとし、
PBベクトル・QAベクトル=((aベクトル+3cベクトル)/3)・((4aベクトル-3cベクトル)/4)=0
となればいいそうです。

回答No.3

suko22 · ベストアンサー

＞このとき、PB⊥QAであることを証明せよ。
ＰＢ↑・ＱＡ↑＝0を証明すればいいのはわかりますね？

でこれを証明するわけですが、位置ベクトルの考え方を使います。どこを基点にとってもいいですが、わかりやすそうな点Ｏを基点にとって考えてみます。

ＰＢ↑＝ＯＢ↑-ＯＰ↑（ベクトルの引き算です）

ここでＯＰ↑＝2/3ＯＡ↑であることがＯＰ：ＰＡ＝2：1よりわかります。
またＯＢ↑＝ＯＡ↑+ＯＣ↑であることが四角形ＡＢＣＤが長方形であることよりわかります。（ベクトルの足し算）
これらを元の式に代入して、

ＰＢ↑＝ＯＡ↑+ＯＣ↑-2/3ＯＡ↑＝1/3ＯＡ↑+ＯＣ↑

次にＱＡ↑
ＱＡ↑＝ＯＡ↑-ＯＱ↑

ここでＯＱ↑＝3/4ＯＣ↑であることがＯＱ：ＯＣ＝3：1よりわかります。
これを元の式に代入して、
ＱＡ↑＝ＯＡ↑-3/4ＯＣ↑

よって、
ＰＢ↑・ＱＡ↑＝（1/3ＯＡ↑+ＯＣ↑）・（ＯＡ↑-3/4ＯＣ↑）
　　　　　　　＝1/3｜ＯＡ↑｜＾2+3/4ＯＡ↑・ＯＣ↑-3/4｜ＯＣ↑｜＾2
　　　　　　　＝1/3*3＾2-3/4*2＾2（∵ＯＡ↑・ＯＣ↑＝0だから）
　　　　　　　＝0
ゆえにＰＢ⊥ＱＡ

位置ベクトルの基点を点Ｏにとり、すべてのベクトルをＯＡ↑とＯＣ↑で表す。
ベクトルの引き算、足し算の知識があれば簡単に出来るはずです。

回答がごちゃごちゃしているように見えますが、難しいことはやっていません。足し算、引き算などをやっているだけです。よく考えてみてくださいね。
これが理解できればベクトルの理解も深まります。

回答No.2

gohtraw

ベクトル記号はしょうりゃくします。点Ｏを原点とし、点Ａをｘ軸上、点Ｃをｙ軸上にとって角ベクトルを成分で表示すると、
ａ＝（３，０）、ｃ＝（０，２）です。

また、ＯＰ＝（２，０）、ＯＢ＝（３，２）ですから、ＰＢ＝（１，２）です。

さらにＯＱ＝（０、３／２）ですからＱＡ＝（３、－３／２）です。

これらよりＰＢとＱＡの内積をとると

ＰＢ・ＱＡ＝１＊３－２＊３／２
　　　　　＝３－３
　　　　　＝０
となり、ＰＢとＱＡのなす角が直角であることが判ります。

回答No.1

keyuki

宿題を無難に提出したいのなら
最後の３行をそのまま写して出せばいい。
解答者の時間の無駄。

本気で理解したいのなら
「よく分からないなりに、考えたこと」を質問文に書いて
アドバイスを求めるべき。