数II 位置ベクトルの問題です。

質問

一辺の長さが1である正四面体OABCにおいて、辺OA、BC上に、それぞれ、点P、Qをとる。
OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトル、OCベクトル=cベクトル、
|OPベクトル|=s、|BQベクトル|=tとするとき、次の問いに答えよ。

(1)PQベクトル を、s, t, aベクトル, bベクトル, cベクトル, を使って表せ。

(2)PQベクトル垂直OAベクトル かつ PQベクトル垂直BCベクトルのとき、定数 s, tの値を求めよ。

みにくくてすみません。この問題が分かりません。解き方を教えて下さい。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

（１）ベクトル記号は省略します。
ＯＰ＝ｓ・ａ　であり、
ＯＱ＝ＯＢ＋ｔ・ＢＣ
　　＝ＯＢ＋ｔ（ＯＣ－ＯＢ）
　　＝ｂ＋ｔ（ｃ－ｂ）
です。ＰＱ＝ＯＱ－ＯＰなので、
ＰＱ＝ｂ＋ｔ（ｃ－ｂ）－ｓ・ａ

（２）
ＰＱとＯＡが垂直ということは、両者の内積がゼロということです。従って
ＰＱ・ＯＡ＝ａ・ｂ＋ｔ（ａ・ｃ－ａ・ｂ）－ｓ・ａ・ａ＝０　・・・（あ）

同様にＰＱとＢＣの内積もゼロなので
ＰＱ・ＢＣ＝ｂ（ｃ－ｂ）＋ｔ（ｃ－ｂ）・（ｃ－ｂ）－ｓ・（ｃ－ｂ）・ａ
　　　　　　＝ｂ・ｃ－ｂ・ｂ＋ｔ（ｃ－ｂ）・（ｃ－ｂ）－ｓ（ｃ・ａーｂ・ａ）　・・・（い）

ここでａ・ｂ、ｂ・ｃ、ｃ・ａの値は１＊１＊ｃｏｓ（π／３）＝１／２　であり、
ａ・ａ、ｂ・ｂ、（ｃ－ｂ）・（ｃ－ｂ）の値は１＊１＊ｃｏｓ（０）＝１なので

（あ）は　１／２－ｓ＝０
（い）は　１／２－１＋ｔ＝０
よりｓ＝ｔ＝１／２
となります。

お礼

理解することができました。
わかりやすい回答ありがとうございます。

回答No.1

ereserve67

「ベクトル」を省略します．

[1]OP=sa．BQ:QC=t:(1-t)だから

OQ={(1-t)OB+tOC}/{t+(1-t)}=(1-t)b+tc

∴PQ=OQ-OP

=(1-t)b+tc-sa

=-sa+(1-t)b+tc

[2]PQ⊥a，PQ⊥(c-b)より

(1)PQ・a=0

(2)PQ・(c-b)=0⇔b・PQ=c・PQ

a,b,cの内積について

a・a=b・b=c・c=1
a・b=b・c=c・a=1・1・cos60°=1/2

であるから，

(1)：-s+(1-t)/2+t/2=-s+1/2=0

(2)：-s/2+1-t+t/2=-s/2+(1-t)/2+t,1/2=t

つまり

s=t=1/2

お礼

理解することができました。
わかりやすい回答ありがとうございます。