数学、ベクトルの問題

質問

数学のベクトル問題を解いていて、私にとっては複雑すぎて全く解き方がわからない問題がありました。以下に記しますので、どなたか数学が得意な方、よろしくお願いします。

四面体OABCの辺OA、OB上にそれぞれ点D、Eをとる。ただし、点Dは、点A、Oとは異なり、AEとBDの交点Fは、線分AE、BDをそれぞれ2:1、3:1に内分している。
また、辺BCをt:1（t>0）に内分する点Pをとり、CEとOPの交点をQとする。
（１）ベクトルOQを、ベクトルOB、ベクトルOC及びｔを用いて表せ。
（２）直線FQと平面ABCが平行になるようなtの値を求めよ。

ちなみに、答えはわかっているので解き方を詳しく教えてください。
※(1)の答えは、ベクトルOQ＝3/(3t+8)×ベクトルOB＋3t/(3t+8)×ベクトルOC
　(2)の答えは、t=4/3　（←“4/3”とは「三分の四」のことです。）

回答No.1

ursid21 · ベストアンサー

思いつくままに解いてみました．
もっと簡単な方法があるかもしれませんが，
参考にしてください．

解答

(1)とりあえずベクトルOQに平行なベクトルOPを求める．
BP：PC＝ｔ：１より，
ベクトルOP＝（１/１+ｔ）ベクトルOB＋（ｔ/１+ｔ）ベクトルOC・・・(1)
次にEQ：QC＝ｘ：（１－ｘ）とおくと，
ベクトルOQ＝（１－ｘ）ベクトルOE＋ｘベクトルOC・・・(2)
ここで，ベクトルOD＝ｙベクトルOA，ベクトルOE＝ｚベクトルOBとおくと，
ベクトルOFは次の二通りで表せる．
ベクトルOF＝（３/４）ベクトルOD＋（１/４）ベクトルOB
＝（３/４）ｙベクトルOA＋（１/４）ベクトルOB
ベクトルOF＝（１/３）ベクトルOA＋（２/３）ベクトルOE
＝（１/３）ベクトルOA＋（２/３）ｚベクトルOB
以上の２式のベクトルOA，OBの係数を比較して連立方程式を解くと，
ｙ＝４/９，ｚ＝３/８となる．
（よって，ベクトルOF＝（１/３）ベクトルOA＋（１/４）ベクトルOB・・・(3)）
このことから，式(2)は次のようになる．
ベクトルOQ＝{３（１－ｘ）/８}ベクトルOB＋ｘベクトルOC・・・(2)’
ベクトルOQ＝ｓベクトルOPとすると，(1)，(2)’よりベクトルOB，OCの係数の比較で
次の連立方程式が導かれる．
３（１－ｘ）/８＝ｓ（１/１+ｔ）
ｘ＝ｓ（ｔ/１+ｔ）
この連立方程式からｓを消去してｘについて解くと，ｘ＝３ｔ/（３ｔ＋８）
これを(2)’に代入すると，答えが得られる．

(2)直線FQと平面ABCが平行になるためには，
OFの延長と辺ABとの交点をRとしたときに，OR：OF＝OP：OQになればよい．
そこで(3)より
ベクトルOR＝aベクトルOF＝（a/３）ベクトルOA＋（a/４）ベクトルOB，
また，ベクトルOR＝（１－ｂ）ベクトルOA＋ｂベクトルOBなどとして
係数の比較からaを求めると，a＝１２/７となる．
よって，ベクトルOQ＝（７/１２）ベクトルOP＝{７/１２（１+ｔ）}ベクトルOB＋{７ｔ/１２（１+ｔ）}ベクトルOC
これと，(1)での回答とを比較し係数が一致することからｔの値を求めると
答えになります．

お礼

ursid21さん。
素早く、しかもわかりやすい解答ありがとうございました！とても助かりました。
元々数学は苦手だったのですが、高校に入ってからはさっぱりです。。。
つくづく自分には数学的センスがないんだなぁと感じてしまう今日この頃。
私もいつか、ursid21さんのように魔法を操るが如く難解な数学の問題を解いてみたいです。
本当に、ありがとうございました。

回答No.2

ursid21

先ほどの解答で，式を表す数字を丸で囲ったのですが，括弧に変換されてしまいました．よって問題番号と式につけた番号を混同してしまうかもしれませんが，文頭の(1),(2)以外は式につけた番号ですので，お気をつけください．

お礼

わざわざ注釈までつけていただきましてありがとうございます。
ご回答を参考に自分でも解いてみましたが、その点は混同せずに解けましたのでご安心ください。