単位の種類

質問

単位には、ｍ・ｓ＾（－１）のように○＾ｘ△＾ｙ・・・□＾ｚ（ｘ、ｙ、ｚは整数）のようになっているものを多くみますが、単位というのは必ずこの形になるのでしょうか？

たとえばある法則を表す方程式が有限個の変数の有理式で表されないような場合に、たとえばｘが１．００１になったりすることはないのでしょうか？

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

例えば長さの次元を持つ量の平方根を考えれば単位はm^(1/2)と言う風に指数が整数ではなくなります。
けど、ほとんどの場合にそういう量を考えても分かりにくいので、普通はそういう変な量は考えません。

とは言いつつ、実際に指数が整数ではない単位が使われる事はあります。すぐに思い浮かぶ例だと
オペアンプなどの電子部品のノイズの大きさをV/√(Hz)という単位で表す(事が多い)
電磁気学で単位系の選び方に依っては電荷などが、指数が整数でない単位になる

お礼

なるほど、よくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.8

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

正確にはどう表せるかというものを追求しなければなりません。
たとえば、No.6さんのお礼の重力定数についても、本当に単一項だけで物理現象が記述できるか？という疑問もあります。
相対性理論では、エネルギーが相対論的エネルギーmc^2と運動エネルギーmv^2/2に分解されますが、これはテイラー展開しているので高次項は無視されてます。物理現象を記述するには基本的にベキ級数であるべきで、我々がみる現象は簡単な式で表しているだけです。どの精度でどの程度を記述し、どの程度を誤差とするかというのは、項ごとには整数である必要があります。

また、オームの法則V=IRはいかなる時でも成り立つか？という問いは「否」です。電流を流しすぎると熱で破壊が起きるからです。ある式が実際の現象をどの範囲でどの程度正確に表せるかというものを考える必要があります。ダイオードの電流電圧特性でも、式はexpの形だけど、閾値以上では線形として表されます。

>たとえばある法則を表す方程式が有限個の変数の有理式で表されないような場合に
これはなんの意味があるのでしょうか？工学的にいえば、鉄損
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%89%84%E6%90%8D
がありますが、これは応用上の式で、単項で表されているだけです。この背景には磁気の統計力学等の丸め込みがあったりして正確にはなっていないなどの問題があります。人間が扱える状態にするには単純でなければなりません。ですから、非整数のベキで表したりします。

長くなってしまいましたが、実際の現象を記述するために式が作られる訳です。他の方の非整数の部分(ノイズに関しては人間が考え出したものである)は元の考えさえ調整すれば整数で記述できる。要は、定義次第の部分。超越数の次元を持つ物理量なんかありゃしないんです。

基本は組み立て単位を基本に考える流れが広まりつつあるということです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB

お礼

再びの回答ありがとうございます。

回答No.7

c80s3xxx

> 単位はどう影響を受けるのだろうか

非整数の次元を持つだけのことです．ほんとうに，単にそれだけ．

お礼

＞非整数の次元を持つ

なるほど、わかりました。
ありがとうございました。

回答No.6

c80s3xxx

> ＞物理法則から整数になるという説

> そういう説があるというのは初めて聞きました。
> それはどのような理論に基づくものなのでしょうか？

#1とかがそういう立場ですね．数学的な証明があるというのですから．
しかし，私はそんなものはないという立場です．

> ちなみに、実験にあわない理論はすでに理論とはいえないと思いますが・・・。

これは観測の精度という問題もあります．
たとえば，ニュートン力学は，厳密には正しくないことは量子力学の実験が証明しています．
しかし，巨視的な物体についての我々の通常の観測では，理論からのずれは著しく小さく，十分に正確な理論として使える場合がほとんどです．

お礼

2度目の回答ありがとうございます。
疑問の発端は、万有引力定数Gの単位です。
高校とかでF=GMm/r^2のように習いますが、rのベキは実際には2に近いけれども2ではないので単位はどう影響を受けるのだろうかと疑問におもったのです。

回答No.5

homma-mon

「ある物理量 y が 別の物理量 x の a 乗に比例する」ということはよくあることで，
　　y = A x^a 式 [1]
とあらわされますね．そして，この a が整数でないこともあります．例えば，ポリマーの固有粘度 [η] とそのポリマーの（粘度平均）分子量M との間に，
　　[η] = A M^μ
となる関係があり，
　　0.5 <μ < 1
ですので，μは整数ではありません．

さて，このような，「半端な指数」はどのように求められたのでしょうか？　理論的に？　いいえ，実験的にでしょう．その手続きは，式 [1] に即して言えば，
　　x と y との組を沢山，実験でもとめて，
　　両対数グラフにプロットしたところ，
　　直線が得られて，
　　その傾きが a であった．
ということでしょう．

式で表すと，
　　log y = A (a log x)　 式 [2]

このとき，気をつけていただきたいのは，
　　対数も，その対数の真数も，無次元である
ということなのです．つまり，
　　log x も x 自身も，無次元である
ということなのです．次元をもった量の対数をとることは，対数の定義と矛盾しているからです．

このことについては，
<http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa721669.html>
の回答の Nos. 2-4 が，「対数の真数は無次元」についての説明となっています．

しかし，実験的には， y も x も単位を持った値が測定されたとします．そのときに，式 [2] のようにあらわすということは，実は，暗黙裡に，
　　y や x と同じ単位のある定数に対する比について考察している
とうことなのです．その定数を Y, X としましょうか．すると，式 [2] は正しくは，
　　log (y/Y) = A {a log(x/X)} 　　　 式 [3]
なのです．

ですから，
　　単位の指数が整数でないこともあるはず
という結論には至れませんでした．

補足

式 [3]に至るまではわかったのですが、一番最後の文がどこからでてきたのかよく理解できませんでした。μは指数ではないということですか？？？

回答No.4

c80s3xxx

物理法則から整数になるという説には同意しかねます．
そうなるかどうかは，最終的には実験によってしか確かめることはできず，これまでもその検証実験は数限りなく行われ，現在までのところ，実験精度を超える整数からのずれが確認できていない，というだけのことです．
実際に非整数のべき乗則にしたがう現象は枚挙にいとまがないのですから，たとえばニュートン力学が整数乗になっているのは，論理ではなく実験事実としてそうである，ということに過ぎないと考えるべきでしょう．

補足

＞物理法則から整数になるという説

そういう説があるというのは初めて聞きました。
それはどのような理論に基づくものなのでしょうか？

ちなみに、実験にあわない理論はすでに理論とはいえないと思いますが・・・。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

指数の部分を次元という言い方をします。

ペアノ曲線などでは非整数次元を持ちますが、これは純粋数学の範囲で、物理の世界では整数の身を扱います。
特に、m、kg、s、Aの基本単位を基準に構成される単位系をMKSA単位系と言います。cm、g、sで構成される単位系をcgs単位系と言います。最近国際的なSI単位系という単位系に統一する動きがありますが、基本はMKSA単位系をベースに考えておけばOKです。

質問文のように基本単位のみの指数で表せるような組み立て単位というような言い方もします。たとえば、N(ニュートン)=kg・m・s^(-2)のような感じです。全ての単位は基本単位を元に表すことが出来ます。

補足

なるほど、そうすると質問文を「すべての単位は組み合わせ単位になるか？」と言い換えることが可能と考えていいですか？そしてその質問の答えは何でしょうか？

回答No.1

itaitatk

多くの物理的な式は数学的に求められたもの(証明されているもの)になるのでｘが１．００１になったりすることはありません。そのような単位が出てきた場合新たに単位を構築することになると思います

補足

＞ｘが１．００１になったりすることはありません。

そうなんですか？
初めて聞きました。
つまり、自然界に存在する量を測定すると、関係する量同士の関係には必ず整数次元しか出現しないようにできるということですね？

もしそうだとするとものすごい発見だと思いますが、どういう理論にもとづくものなのでしょうか？