ベッセル関数について

質問

x^2*y''+x*y'+(4*x^4-1/4)*y=0の一般解をz=x^2の変数変換を行って求めてください。
yをzで1回微分したものをY'とすると、
z^2*Y''+1/2*z*Y'+(z^2-1/16)*y=0
ここまでは計算できるのですが、1/2*z*Y'の項の係数1/2のせいで式がベッセル方程式の形にならず、困っています。よろしくお願いします。

回答No.2

f272

dz/dx=2x=2√z
y'=dy/dx=(dy/dz)(dz/dx)=2√z*Y'
y"= (d/dx)(dy/dx)
= (d/dx)(2√z*Y')
= (2√z)*(d/dz)(2√z*Y')
= (2√z)(1/√z*Y')+(2√z)(2√z*Y'')
= 2*Y'+4z*Y''

x^2*y''+x*y'+(4*x^4-1/4)*y=0
z*(2*Y'+4z*Y'')+x*(2√z*Y')+(4*z^2-1/4)*y=0
4z^2*Y''+4z*Y'+(4*z^2-1/4)*y=0
z^2*Y''+z*Y'+(z^2-1/16)*y=0

回答No.1

f272

yをzで1回微分したものをY'とすると、
z^2*Y''+1/2*z*Y'+(z^2-1/16)*y=0
にはならないよ。
z^2*Y''+z*Y'+(z^2-1/16)*y=0
になります。
どこかで計算を間違っている。
y'=2√z*Y'
y''=4zY''+2Y'
になっていますか？

補足

すみません
y'=2√z*Y'までは求められるのですが
どうしてもy''=4zY''+2Y'となる計算がわかりません