三元連立微分方程式の解き方教えてください。

質問

dx/dt=(A-C)/A*y*z
dy/dt=((C-A)x-L)/A*z
dz/dt=L/C*y

この連立方程式なのですが，x,y,z以外は全て定数です。
まずは，ひとつの変数のみの方程式を作ろうと思いzだけの式を作りました。
z*z'''-z''*z'+((A-C)/A)^2*z^3*z'=0
という式になりました（'は微分回数です。）
そして更に左辺は(z*z'')のtで微分した形に近いんじゃないかと思い解いていったのですが・・・・ここらへんからもうさっぱりでどうすればよいのかわからなくなってしまいました。もしよろしければこういう三元の連立で変数がyzみたいに積の項がある方程式のよい解き方を教えてください。パソコンで計算してみたらx,yは円の運動をしました。

回答No.4

mazimekko3 · ベストアンサー

ごめんなさいN03です。
> (dz/dy)(dy/dt)=Ly*C
間違ってます。正しくは
(dz/dy)(dy/dt)=Ly/C
です

回答No.3

mazimekko3

No2です。
前述が正しければとりあえずx,yのみなら円です。
3番目の式を合成律（合成関数の微分）を用いて変形すると

(dz/dy)(dy/dt)=Ly*C

となります。また(dy/dt)は問題より、(dz/dy)は明らかにL/Cであるので整理、変形して

z=Ay/((C-A)x-L)

となります。

回答No.2

mazimekko3

とりあえず上の二式からzを消去できると思います。
単純にzを消去して移項するだけでx'xとxとy'yだけの式に
なるので両辺の不定積分をとれば、

x^2*(C-A)/(2A)-Lx/A=y^2*(A-C)/(2A)+B
（Bは積分定数とします）

となると思います。

回答No.1

rtz

x^2＋y^2＋C/A*z^2＝定数、は確かに題意を満たすけど十分条件かどうか分からないですね…。

一応上の2式から(A-C)/Aが消せるっぽいので
xx'+yy'＝-L/A*yz＝-C/A*zz'とはなり、上の答えはでますが…。