複素解析

質問

z=x+iyに対して√ｗ=u(x,y)+iv(x,y)とおいた時
u(x,y)　v(x,y)を具体的にx,yの関数で表示すること

大学のレポートの問題です。まったくわからないのでお助けください！

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．
a^b はａのｂ乗のことですが，
「一応解けました」とあるので，おわかりになったようですね．

平方して４になる数は±２ですが，
これからわかるように平方根関数は２価関数です．
xが正の数の時は√xは２つあるうちの正の方を表すという約束になっていますが，
zが複素数の時は√zは２価のうちどちらを取るかは特に約束されていません．

z=re^(iθ)と書きすと，√zは
w1=(√r)e^(θ/2)
w2=(√r)e^{(θ/2)+π}
ですね．(w1)^2，(w2)^2，どちらもｚになるのを確かめて下さい．
で，w1の方を取り上げることにして，ｚをｒ一定，θを０から２πまで
動かしてみましょう．
つまり，ｚは複素平面上で半径ｒの円を一周する．
ｚが一周してもw1の方は元に戻りませんね．
半周しかしません．
ｚが二周するとw1は元に戻ります．
ここら辺の状況を，w1の複素平面を２枚用意してうまく表そうというのが
Riemann面の考え方です．
２枚の複素平面の「継ぎ目」がbrach cutにあたります．

詳しいことやりますと，大学の１～２回分くらいの講義になりますので，
アウトラインだけ書きました．
複素解析でしたらテキストにRiemann面など載っていませんか？
なければ，図書館で複素関数論の本など探してみてください．
karkarl さんが数学専門ではないのでしたら，応用複素関数論とか物理数学
といったタイトルの本の方が読みやすいかも知れません．

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。Riemann面、brach cutについてもわかりやすかったです。

回答No.2

siegmund

複素解析だったら，この問題は基本中の基本です．
まったくわからないというのは，解せません．
授業でやったことで解決がつくはずですが....

レポート問題の答をそのまま書くのは適当と思いません．
折角ですからヒントだけ．

z=re^(iθ)の形にしてみたらどうでしょう．
あるいは，z=(√z)^2 をu,vであらわして，
実部同士，虚部同士を比較すれば良いんじゃ....

いずれにしろ，√zは２価関数です．
branch cutやRiemann面にも注意して下さい．

お礼

一応解けましたが、branch cutやRiemann面とはどういったものなのでしょうか？

補足

今年から習っているのでz=re^(iθ)． z=(√z)^2 の^の記号の意味がわからないです。よろしくお願いします。

回答No.1

karen7777

あの～、zとwの間の関係はどうなっているのでしょうか？
それがわからないとどうしようもないという気がするのですが。

補足

√w　は√zの誤りです。