微分方程式

質問

微分方程式y''-(y')^2/y +y=0の解で初期条件y(0)=1,y'(0)=0を満たすものを
y=y(x)とする。以下の問に答えなさい

(1)z=logyとおくとき、z=z(x)の満たす微分方程式を求めなさい。
y=e^zとおいて、y''-(y')^2/y +y=0に代入するだけでいいと思います。
(2)yをもとめなさい。
y'=p y''=p・dp/dyとおきます。
dp/dy=p/y-y/p
　　 =(p^2-y^2)/gy
同時形を用いて
u=p/yとおいて、p'=u'y+u
変数微分法を用いて
u'y=-1/u
∫udu=-∫dy
1/2u^2=-logy+C
となってさらに続くのですがここからよくわかりません。
そして、この手法はあっているでしょうか？？
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.2

inara · ベストアンサー

（１）ができれば（２）は簡単じゃないですか。

（１）微分方程式 y''- (y')^2/y + y = 0 で、y = e^z とおけば、
　　　y' = e^z*z'、y'' = e^z*( z' )^2 + e^z*z''
　　　だから、微分方程式は
　　　e^z*( z' )^2 + e^z*z'' - ( e^z*z' )^2/e^z + e^z = 0
　　　両辺をe^z (<>0)で割ると
　　　( z' )^2 + z'' - ( z' )^2 + 1 = 0
　　　→　z'' +1 = 0

（２）上の結果から z'' = -1 → z' = -x + C1 → z = -x^2/2 + C1*x + C2
　　　y = e^z だから、y = e^( -x^2/2 + C1*x + C2 )
　　　あとは、初期条件 y(0)=1,y'(0)=0 から、定数 C1, C2 を求めれば良いわけです。

お礼

返信ありがとうございます。
(1)の解すらもとめることができてませんでした。
わかりやすくありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

えっと....
(1) で z の微分方程式が得られるので, それを解けばいいような気がするんだけど.... 違うのかなぁ?

お礼

返信ありがとうございます。
確かにそうですね！
自分、意味不明なことしてました。。