平面電荷と点電荷の作る電位

質問

http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~masiyama/ube-k/deni2.pdf

ここのページにありますように
点電荷が作る電位は

V = Q / εr

で表されます。

一方で、点電荷を平面状に並べることで作られる平面電荷による電位は

http://www2.ipcku.kansai-u.ac.jp/~saitoh/parts/lectures/staticelectricity.pdf

ここの5ページにありますように

-σr / 2ε

で表されます。

つまり、点電荷の場合、電荷の上で電位が無限大で、
電荷から離れるに従って電位はゼロになるということになります。

一方で、平面電荷の場合には、
電荷の上で電位がゼロで、電荷から離れるに従って電位はマイナス無限大に発散するということになります。

なぜ、平面電荷の場合で、電荷の上で電位がゼロになるのかということと、
距離無限大で電位が無限大に発散するのかということが理解できません。

点電荷上で電位が無限大になるのであれば平面電荷であっても同様に無限大になり、
遠い距離では同様に電位はゼロにならないのはなぜでしょうか？

電場を積分することで電位が得られ、平面電荷の場合には電場が距離によらず
一定であるために、このようなことが起きることは数式的には理解できるのですが
直感的に理解することができません。

どなたかわかりやすい説明をよろしくお願いいたします。

回答No.7

siegmund · ベストアンサー

Quarks さん：
> 電位は、基準点をどこに取るかで、違った値を持ちます。
> 無限遠点を基準に取ることが多いですが、これは、有限の大きさを持った電荷が有るとき、
> その電荷から無限の距離離れた地点では、その電荷の影響は無くなる、
> ということと関連させて、影響が無いなら、そこを電位が０とすると、
> 何となくスッキリするだろう、くらいの意味でそうするに過ぎないのではないでしょうか。
> 繰り返しますが、基準点はどこに取っても問題ないのなら、
> 無限遠点を基準にしても、電荷の有る位置を基準にしても、
> はたまた別の適当な位置を基準にとっても構わないわけです。

電位の基準点はどこにとっても構わないのは Quarks さんのおっしゃるとおりです．
(可能ならば)基準点を無限遠にとることについては
無限遠はどこから見ても無限遠なので，
たとえば点電荷が２個あったときに共通の基準点に取れることが極めて大事です．
点電荷から 1 [m] の点を基準点にするというような約束をしたら，
２個の点電荷があったときに違う基準点で電位を測ることになりますから，
基準点の調整が必要になります．

なお，電場の線積分を無限遠まで延ばして積分が収束しても無限遠を基準点に取れるとは
限りません．
例えば，x=+a (a>0) に一様な面密度 +σ(σ>0)の平面電荷があり，
x=-a に一様な面密度 -σの平面電荷がある，という場合，
x → +∞ の無限遠点と x → -∞ の無限遠点とでは電位が 2aσ/ε_0 だけ違います．

回答No.10

foobar

物理では、通常「無限遠では物理量が0である」という暗黙の前提（了解）があります。
点電荷の場合には、これが成立するので、電位も無限遠を0の基準にできますが、平面電荷では電荷分布そのものがこの前提に反していて、無限遠で電位を0とできません。そのため、無限遠を基準にするのをあきらめて、平面上を基準に取り直す処置をしているかと思います。ただし、これは通常使われる前提と異なるので、きちんとその旨明示する必要があります。

回答No.9

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

無限遠点というのは、定義が曖昧です。特に質問文の場合。

No.7さんの言うことは尤もなんですが、ちょっと足りない気がします。

通常電荷は点で表され(電磁気学の定義)、無限遠で電界が0になるというところから、無限遠のある点に+δの変位を考えたとき影響が無いことから、基準にとっている。(1[C]の仮想電荷を動かしたところでエネルギーの変化が無いから)
無限平板に一様に電荷が分布している場合、無限遠まで電界が存在して、無限遠点を定義できないから無限平板上の点を基準にとっているのでは無いでしょうか？

点電荷の場合は、無限遠の任意の点に基準を点として置けますが、無限平板の場合は無限遠を点で定義できない。

回答No.8

Quarks

ANo.6です。

siegmundさん、ANo.7での補足説明ありがとうございました。

>電位の基準点はどこにとっても構わない…
>(可能ならば)基準点を無限遠にとることについては
>無限遠はどこから見ても無限遠なので，
>たとえば点電荷が２個あったときに共通の基準点に取れることが極めて大事です．

なるほど、そのような"積極的な"意義があったのですか。

>なお，電場の線積分を無限遠まで延ばして積分が収束しても無限遠を基準点に取れるとは
>限りません．

どんな電荷配置があっても、"任意の位置"に基準面を決めることができるとは限らない、ということですね。

回答No.6

Quarks

>なぜ、平面電荷の場合で、電荷の上で電位がゼロになるのかということと、

電位は、基準点をどこに取るかで、違った値を持ちます。無限遠点を基準に取ることが多いですが、これは、有限の大きさを持った電荷が有るとき、その電荷から無限の距離離れた地点では、その電荷の影響は無くなる、ということと関連させて、影響が無いなら、そこを電位が０とすると、何となくスッキリするだろう、くらいの意味でそうするに過ぎないのではないでしょうか。
繰り返しますが、基準点はどこに取っても問題ないのなら、無限遠点を基準にしても、電荷の有る位置を基準にしても、はたまた別の適当な位置を基準にとっても構わないわけです。

>電荷の上で電位がゼロになる

確たる根拠の下に、０になる、というのではなく、「そのようになるように、基準点を取った結果」というだけに過ぎません。

繰り返しますが

>点電荷上で電位が無限大になるのであれば平面電荷であっても同様に無限大になり、
>遠い距離では同様に電位はゼロに

なるように設定しても構いません。ただ、数式で表現したとき、

-σr / 2ε　は　-σr / 2ε＋∞　とでも書き表さなくてはならなくなりますよね。

このように、"無限大"が式に明示的に出てきてしまうのは好ましくないので、それを避けるために、基準点の取り方を工夫したに過ぎません。

なお、無限大が現れるという問題は、基準点の取り方に起因する問題ではありません。

>距離無限大で電位が無限大に発散するのかということが理解できません。

強いてイメージするなら…

電位の、位置座標に対する変化率が、電場ですよね。つまり、電位という"高さ"の"勾配"が電場です。
無限の広さを持った帯電体が作る電場は、一様電場です。つまり、"勾配"が一定です。
一定勾配の"坂道"をイメージすれば良いだけです。
勾配が一定なら、坂道の高さはどこまでも増加し続けるか、減少し続けるかしかないです。
高さ０の所から、－の一定の勾配で下がり続けるなら、無限遠方では、高さも無限の"深さ"になるのが自然です。

回答No.5

siegmund

> 例えば、宇宙空間に1C/m^2の表面電荷密度をもった巨大な物体が浮かんでいるとして
> 周りに何もない場合には、この物体の電位がゼロからマイナス無限大までの間にあり
> 具体的な電位を求めることができないということですか？

いくら巨大な物体でも大きさは有限です．
簡単に，その物体が半径 a の円板だとして，
円板の中心軸上で円板からの距離が r のところを考えてみます．
(A) r>>a から見れば円板は点電荷のように見え，電場は 1/r^2 に比例します．
(B) r<<a からみれば円板は無限に広く見え，電場は r^0 に見えます．
具体的には電場は
(1/r) - 1/√(r^2+a^2)
に比例し，これから(A)(B)を導くのは容易です．

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

巨大なっていう定義が曖昧なんですが、もし有限の大きさなら十分離れると点電荷の様に見なせるので、どこかで無限平板と点電荷との転換点を持ちます。(電気力線が疎になっていく)

電位はエネルギー(仕事)の定義式にしたがって計算されます。エネルギーは概念ですので、位置エネルギーも地表から取りますよね？運動エネルギーには地球の公転や自転の速度って含めないですよね？それは基準をとっているからです。

孤立した平板は基準が無限遠にあるか平板にあるかしか無いんです。無限遠点を基準に取ったら発散するから平板を基準にとっています。それだけのことです。
無限平板の近くに基準点となる導体を置いても、基準は無限平板の方です。この場合は導体に基準をおいてもいいですが。
孤立した無限平板だけでは、電界が減衰しないまま無限遠点まで到達してしまうというところに非現実性があります。

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

真空の電位ってのがよくわかりませんが…

電荷の点で電場が発散するということは、電磁気学の欠陥なんですよ。(それを補う様に相対性理論や素粒子論などが考えられた)
平板でも点電荷でも、結局無限遠点と電荷が分布している部分との電位の差が無限大なんです。
点電荷の場合は、分母に距離の項があるから、無限遠点を0Vという基準にとって計算できます。
しかし、平板の場合は一様電場となってしまうため、無限遠点を基準に選んでしまうと、平板近傍の電位を求められなくなってしまうので、平板自体を基準に取る必要があります。
並行平板の様に、電気力線を回収する基準点があれば計算は容易です。あまり孤立平板を考える意味は、現実問題ではあまり意味のあるものとは思えませんが。

お礼

ありがとうございます。

例えば、宇宙空間に1C/m^2の表面電荷密度をもった巨大な物体が浮かんでいるとして
周りに何もない場合には、この物体の電位がゼロからマイナス無限大までの間にあり
具体的な電位を求めることができないということですか？

そして、この物体の近くに別の電荷密度が既知な物体を置いたとたんに
この物体の電位が確定するということですか？

回答No.2

siegmund

電位は電場の線積分ですから．電場で考えた方がよろしいでしょう．
空間が３次元ですが，
(A) 点電荷は零次元
(B) 無限に広い平面電荷は２次元，
(C) ついでに無限に長い直線電荷は１次元です．
したがって，電場の広がりかたは
(A)では３次元的，(B)では２次元的，(C)では平面電荷では１次元的です．
これが電場の r 依存性，それぞれ 1/r^2，1/r，r^0 をもたらしています．
ガウスの法則を考えてみて下さい．
電気力線が貫く面は，(A)では球面(面積∝r^2)，(B)では円筒側面(面積∝r)
(C)では円筒底面(面積∝r^0)ですね．
空間の次元性が本質なのです．

議論の本質には関係ありませんが，
点電荷が作る電位は
V = Q / (4πεr)
です．

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

電場という言葉遣いから、物理学科生ですかね。

単に平面上を0Vという基準をとったものと思われます。無限遠を0Vとしたなら、平面上で発散すると思いますよ。
http://qanda.rakuten.ne.jp/qa3871490.html

お礼

ありがとうございます。

真空の電位というものは定義できないということなのでしょうか？

点電荷から見るとゼロで、平面上の電荷もゼロととると無限大になるということは

真空の電位は不定形だと考えるべきなのでしょうか？

もし真空の電位をゼロにしなければならないというのであれば
必ず平面上の電位の方が発散すると思うのですが。