電位の求め方

質問

よろしくお願いします。

電位の計算についてなのですが、電位の定義は、「点電荷を無限遠方からある点まで電界に逆らって運ぶ時の仕事」とありますが、無限遠ではない場合はどのように考えればよいのでしょうか？

たとえば、接地された４辺に囲まれた正方形の中心に電荷がある場合の正方形内の電位の様子などはどのように考えればいいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

foobar · ベストアンサー

＃２に追加
電位の計算方法は、例えば、影像法（境界条件（この場合は接地した四辺の電位が0）を満たす仮想的な電荷を考えて、電位などを計算する方法）を使って計算することになるかもしれません。

一辺dの正方形の中心に電荷Qをおいた場合には、間隔dの格子を考えて、格子の点にQ,-Q,Q・・・と交互に正負の仮想電荷をおいた状況になって、それぞれの電荷による電位を全部足しあわせる(無限級数になる）ような代物になりそうな気がします。

補足

早速の回答ありがとうございます。

無限遠方の話についてもありがとうござました。
電気影像法については考えてみたのですが、境界条件を満たすようにうまく仮想電荷を配置できず、悪戦苦闘していましたので、電位の式から解けるのでは？と思い、質問させていただきました。
影像法についてもっと考えるべきでした。ありがとうございます。

格子の点に仮想電荷を置く、というのは囲まれた正方形内にも中心に置いた電荷Q以外に、仮想電荷があるということでしょうか？
私は、L字型の接地面（開放されている）に電荷がある場合の影像法にならって、正方形の外に仮想電荷を置き、境界条件を満たす配置を考えるのかと思っていましたが、条件を満たすのであれば、正方形内部に配置してもよいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.5

inara1

ANo.4 です。
参考URLの末尾に変な文字が入ってました。正しくは
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/sankosyo/contents/03022-2.html
です。式(1)はExcelでも計算できます。

補足

書籍まで紹介していただきありがとうございます。

式がちょっと複雑なんですね。式の導出を知りたいのでさっそく探して、読んでみたいと思います。

現在は、ネット上に双極子ではなく電荷密度で同じ問題を解いたものがあったのでまずそちらを理解し、そのあとで双極子に適用したいと思っています。
また何かありましたらよろしくお願いします。
ありがとうございました～

回答No.4

inara1

z方向に無限に長く、xy平面での断面形状が長方形で、接地された筒の内部に、z方向に無限に長い線状電荷（ 線密度 λ [C/m] ）がある場合の電位分布（xy平面）なら、２重フーリエ級数による厳密解があります。長方形の４頂点の位置を (0,0)、(a,0)、(a,b)、(0,b) 、線電荷の位置を (x0,y0) としたとき、点(x, y) での電位は
　　　V(x,y) = 4*λ/( ε*π^2*a*b )*Σ [m=1,2,・・,∞] Σ[n=1,2,・・,∞] sin( m*π*x0/a )*sin( n*π*y0/b )*sin( m*π*x/a )*sin( n*π*y/b )/{ (m/a)^2 + (n/b)^2 } --- (1)
で表わされます。１辺の長さが L の正方形なら a = b = L、線電荷が正方形の中心にあるなら x0 = y0 = L/2 なので
　　V(x,y) = 4*λ/( ε*π^2 )*Σ [m=1,2,・・,∞] Σ[n=1,2,・・,∞] { (-1)^m }*{ (-1)^n }*sin{ ( 2*m - 1 )*π*x/L }*sin{ ( 2*n - 1 )*π*y/L }/{ ( 2*m - 1 )^2 + ( 2*n - 1 )^2 }
となります。式(1)の導出は参考URL（書籍）のp.132～p.133にあります。

参考URL：

http://www.kyoritsu-pub.co.jp/sankosyo/contents/03022-2.html​

回答No.2

foobar

接地された（電位0の）辺からの仕事を計算すれば良いかと思います。

（無限遠(電位0)から接地された辺まで点電荷を動かすのに必要な仕事は0（等電位）ですので、接地された辺から移動するための仕事と無限遠から移動するための仕事は一致します。）

回答No.1

BookerL

回答にはなりませんが……

＞接地された４辺に囲まれた正方形の中心に電荷がある場合の正方形内の電位の様子などはどのように考えればいいのでしょうか？

　考え方としては、「点電荷を正方形の上の一点からある点まで電界に逆らって運ぶ時の仕事」ということでいいのでは？

　計算せよといわれてもできませんが(^^)ゞ

　イメージとしては、正方形の枠にゴム膜を張って、真ん中をつまみ上げたときのゴム膜の形、みたいな感じでしょうか。

補足

さっそく回答していただきありがとうございます。
なるほど。「無限遠方」を「ある点」にすることに「こんな単純でいいのかなぁ」と疑問がありましたのですっきりしました。

ゴム膜のイメージは電位の様子のイメージですよね。本などでも見たことがあります。

ありがとうございました。