点電荷が作る電位分布の求め方

質問

点電荷が作る電位分布の求め方

お世話になります。

1次元の電位分布についての質問です。

高校の物理で習ったように、1[C]の点電荷（あるいは微小な大きさを持つ電荷）が原点にあるときの電位分布は、無限遠をゼロとして、
φ = (1/(4πε)) * (Q / r) ・・・(1)
で表せますよね？

同じ分布をポアソン方程式（div (grad φ) = -ρ/ε）から求めるにはどうすればよいでしょうか。

1次元の場合ポアソン方程式は単純な2階微分方程式になると思いますので、rで2階積分してみたのですが、原点以外ではρ= 0 のため φ が一次関数になってしまい、(1)のような反比例の関係にはなりそうにありません。

どこか考え方が間違ってるのだと思いますのでご指摘いただけると助かります。
よろしくお願い致します。

回答No.2

noname#185706 · ベストアンサー

x = 0 に点電荷があるとして
(d/dx)(d/dx)φ = 0
を解かれたのではありませんか？
その場合には、電荷は x = 0 の y-z 面に一様に分布していると仮定したことになってしまいます。電場は一定で x 軸に平行ですから、電位が x の一次関数になるのは当然です。

r = 0 に点電荷があるのであれば、r > 0 の領域に対しては、球対称性を仮定した球座標系での方程式
(1/r)(d/dr)(d/dr)(rφ) = 0
を解くべきです。これより
(d/dr)(rφ) = c1、　（c1 は積分定数）
rφ = c1 r + c2、　（c2 も積分定数）
φ = c1 + c2/r。
境界条件を
r → ∞ で φ → 0
として
c1 = 0、
φ = c2/r。　(1)

c2 は電荷の存在から決まります。ポアソン方程式
∇・∇φ = -ρ/ε0
を、原点を中心とし、電荷が存在しない（ρ = 0）部分に表面 S を持つ球 V に対して体積積分して、
∫∫∫∇・∇φdV = ∫∫∫(-ρ/ε0) dV。　(2)
この左辺はガウスの定理より、S 上での積分
∫∫ ∇φ・dS~　（「~」はベクトルの意）
で表すことができます。ここで(1)式を使うと、
∇φ = ((d/dr)(c2/r), 0, 0)
　　　= (-c2/r^2, 0, 0)
なので、
((2)の左辺)
= ∫∫ ∇φ・dS~
= ∫∫(-c2/r^2) r^2 sinθ dθ dφ
= -c2∫_0^π sinθdθ ∫_0^(2π) dφ
= -4πc2。　(3)

(2)式の右辺については、いまの場合、電荷は原点にある Q のみですから、
((2)の右辺) = -Q/ε0。　(4)

(2),(3),(4)式より
-4πc2 = -Q/ε0、
c2 = Q/(4πε0)。　(5)

(1),(5)式より
φ = {1/(4πε0)}(Q/r)。

お礼

おふたりともご回答ありがとうございました。
3次元の球対称の系と1次元の系をごっちゃにしてしまっていたようです。
よくわかりました。

回答No.1

eatern27

１次元では１次関数になるというので正しいですよ。

間違っている所は「１次元でも電位が1/rに比例するはず」と思っている所って事になるんかな。

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。ご回答ありがとうございました。