行列の問題です

質問

行列の【連立一次方程式と行列】のセクションでの問題です。
どのように解いたらいいかまったくわかりません。
分かりやすく教えてください。

【問題】
　→　→　→　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　→　→
　Ｘ1, X2, X3 を列ベクトルとして並べてできる行列を（ Ｘ1 X2 X3 ） とすると、

　行列Ａについて
　　　　　　　　　　　　→　 →　→　　　　　　 →　　 →　　 →
　　　　　　　　　　Ａ（ Ｘ1 X2 X3 ）　＝　（ Ａ Ｘ1 Ａ X2 Ａ X3 ）　

　が成り立つ。このことと消去法を用いて、次の等式を満たす行列 Ｘ を求めよ。
　　　　　　／　　　　　　　 ＼　　　　　　　　　／　　　　　　　＼
　　　　　｜　1　　-1　　2　｜　　　　　　　　｜ １　　-1　　3 ｜
　　　　　｜-1　　　2　　2　｜　X 　　＝　 ｜ 1　 　0　　2　 ｜
　　　　　｜　2　　-1　　9　｜　　　　　　　　｜　3　 -1　　7　｜
　　　　　｜-2　　　3　　0　｜　　　　　　　　｜　0　 　1　 -1　｜
　　　　　　＼　　　　　　　／　　　　　　　　　 ＼　　　　　　 　／

この問題の解答は下記のようになっています。
　　どうして３×３行列になるのかもわかりません。

　　　　　 ／　　　　　　　　 ＼　　　　　　　　　　
　　　　　｜　9　　-14　 32　｜　　　　　　　　
　　　　　｜ 6　　　-9　 21 ｜　　　
　　　　　｜ -1　　　 2　-4 　｜　　　　　　　　
　　　　 　＼　　　　　　　　／　

　よろしくお願いします。

回答No.2

info22_

列ベクトルの上付き矢印は面倒なので省略して列ベクトルを単にX1,X2,X3と書くことにします。
ベクトルの転置を肩に「~」をつけて書くことにします。

>どうして３×３行列になるのかもわかりません。

問題を書き換えると
A=
( 1 -1 2)　…(A)
(-1 2 2)
( 2 -1 9)
(-2 3 0)
とする時
AX1=(1,1,3,0)~ …(B)
AX2=(-1,0,-1,1)~ …(C)
AX3=(3,2,7,-1)~ …(D)
を解けば良いことになります。

Aの各行は3列分ありますので
X1=(X11,X21,X31)~の列ベクトルになります。
X2=(X12,X22,X32)~の列ベクトルになります。
X3=(X13,X23,X33)~の列ベクトルになります。
X=(X1,X2,X3)なので、Xは3行3列の行列と言えます。
Xを求める問題とした場合、未知数はX1,X2,X3の要素だけで合計9個です。それに対し
未知数を決定する式は12式できますので、与えられた等式の左辺と右辺の行列の行数は3行必要なだけで、1行分は冗長です。その1行が他の3行と矛盾すれば解が存在しない。矛盾しなければ解が存在するということになるでしょう。

実際に
(B),(C),(D)をそれぞれ解いて
X1=(9,6,1)~
X2=(-14,-9,2)~
X3=(32,21,-4)~
を求め、そしてX=(X1,X2,X3)を出してみよう。

[解答]
与えられた等式において
A=
( 1 -1 2)　…(A)
(-1 2 2)
( 2 -1 9)
(-2 3 0)
とおくと
AX1=(1,1,3,0)~ …(B)
書き下すと
(1,-1,2)(X11,x21,X31)~=1　…(1B)
(-1,2,2)(X11,x21,X31)~=1　…(2B)
(2,-1,9)(X11,x21,X31)~=3　…(3B)
(-2,3,0)(X11,x21,X31)~=0　…(4B)
(1B),(2B),(3B)を連立にして(X11,x21,X31)を求めると(X11,x21,X31)=(9,6,-1)…(5B)
これは(4B)を満たしているので(5B)は（B)の解である。

同様に
AX2=(-1,0,-1,1)~ …(C)
書き下すと
(1,-1,2)(X12,x22,X32)~=-1　…(1C)
(-1,2,2)(X12,x22,X32)~=0　…(2C)
(2,-1,9)(X12,x22,X32)~=-1　…(3C)
(-2,3,0)(X12,x22,X32)~=1　…(4C)
(1C),(2C),(3C)を連立にして(X12,x22,X32)を求めると(X12,x22,X32)=(-14,-9,2)…(5C)
これは(4C)を満たしているので(5C)は（C)の解である。
また
AX3=(3,2,7,-1)~ …(D)
書き下すと
(1,-1,2)(X13,x23,X33)~=3　…(1D)
(-1,2,2)(X13,x23,X33)~=2　…(2D)
(2,-1,9)(X13,x23,X33)~=7　…(3D)
(-2,3,0)(X13,x23,X33)~=-1 …(4D)
(1D),(2D),(3D)を連立にして(X13,x23,X33)を求めると(X13,x23,X33)=(32,21,-4)…(5D)
これは(4D)を満たしているので(5D)は（D)の解である。
以上まとめると

X=(X1,X2,X3)
=
(9 -14 32)
(6 -9 21)
(-1 2 -4)

回答No.1

noname#123075

>>どうして３×３行列になるのかもわかりません。
なんでやん。m×n型とn×l型との積はm×l型になるから
4×3型と3×3型以外の型を積をとると4×3型にならない。

>>このことと消去法を用いて、次の等式を満たす行列 Ｘ を求めよ。
消去法は使わない。代わりに
｜　1　　-1　　2　｜　　　　　　　｜ １　　-1　　3 ｜
｜-1　　　2　　2　｜　X' 　　＝　 ｜ 1　 　0　　2　 ｜(=B)
｜　2　　-1　　9　｜　　　　　　　｜　3　 -1　　7　｜

を満たすX'をまず考えると
｜　1　　-1　　2　｜　　　　　　　
｜-1　　　2　　2　｜　
｜　2　　-1　　9　｜

の逆行列を求めて、それを左から行列Bに掛けたものが
行列X'になる。
それであと必ず最後にやらなくてはいけないのが
実際に行ベクトル[-2,3,0]とX'との積が
果たして[0,1,-1]になっているかどうか確かめること。
これが成り立たなければ求める題意の行列Xが存在しないことになる。
このような手順で後は計算。