隣接４項間漸化式の行列を用いた解法

質問

隣接４項間漸化式の行列を用いた解法

x（n+3)-2x(n+2)-x(n+1)+2x(n)=0
※ここでの括弧内の項はｘの下付文字を表しています。

そしてまず，ｘ０＝３，ｘ１＝２，ｘ２＝６という初期条件が与えられています。

（１）ベクトルＸ（ｎ＋１）＝ＴＸ（ｎ）を満たす行列Ｔを求めよ。

ただし、ベクトルX（n）=( x(n) )
　　　　　　　　　　 　　　 (x(n+1))
　　　　　 　　　　　　　　 (x(n+2)) 　　　とする。

（２）T固有ベクトルを求めよ。ただし、各固有ベクトルは、第1成分を1とするものを求めよ。

（3）ベクトルX0=(3)
　　　　　　　　　　 (2)
　　　　　　　　　　 (6)
を問（２）で求めたTの固有ベクトルの線形和の形で表せ。

（4）問（3）の結果を用いてx11を求めよ。ただし、求めるx11の値だけ示すのではなく、回答の過程も示すこと。

という問題です。
私は問（3）まで解けて問（4）はわかりません。ご回答お願いします！

ちなみに、

固有値は1、-1、2

T= (0 1 0)
　　 (0 0 1)
　　 (-2 1 2)

X0= (1) 　　　(1) 　 (1)
　　　(1) + 　 (-1) + (2)
　　　(1) 　　 (1) 　 　(4)

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

まず, 問(1) で定義したベクトル X(n) は x(n), x(n+1), x(n+2) を縦に並べたものです. 問(4) で求められているのは x(11) ですから, 例えば X(9) を計算すれば x(11) はわかるはずです (ついでに x(9), x(10) も求まりますが). これはいいでしょうか?

次に, このベクトル X(n) は (問(1) から)
X(n+1) = T X(n)
という漸化式を満たします. これは「等比数列」と同じような漸化式ですから, 一般項 X(n) を等比数列と全く同様に求めることができます. これで, X(0) を使って X(9) を求めることができます.

そして, 一般に x を A の固有ベクトル, λ を対応する固有値とすると
A^n x = λ^n x
となります (確かめてみてください). 問(3) で「X(0) を固有ベクトルの線形和の形で表した」のはこの関係式を使いたいからです.

ん, あんまりうまく説明できないなぁ. 重要な部分は一応書いたつもりだけど, やってみて不明なところがあったらまた書いてください.

お礼

とてもわかりやすくご解説いただきありがとうございます！
ご教示の方法でやってみるとx11=1024という結果が得られました。

＞そして, 一般に x を A の固有ベクトル, λ を対応する固有値とすると
A^n x = λ^n x

この公式には名前や証明とかありますか？覚えておきたいと思うので、もしあれば
ぜひお教えください！

補足

x11の値を書き間違えました...
x11=2048です！

回答No.3

Tacosan

「x が A の固有値 λ に対する固有ベクトル」なら
Ax = λx
です. つまり帰納法で
A^n x = A^(n-1) Ax = A^(n-1) λx = λ [A^(n-1)x]
= ... = λ^n x
とできる, というだけなので「名前」を付けるほどでもないですし証明もほぼこれだけです.

お礼

Ax = λxは固有値の定義ですか...それはわからなかったのです！（＞＿＜）
もっと基礎的な部分を磨かないといけないですね。
はい、わかりました！ありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

「問（4）はわかりません」というのは, より具体的にはどこがどう「わからない」のですか? 例えば, 問(3) の X0 がどこから出てきたものかはわかりますか?

お礼

問（4）はどうやってやれば全然わからないのです。
問(3)のX0は問（1）の定義に従って（x0,x1,x2）=(3,2,6)です。
最後に書いたX0は固有ベクトルでの線形和の表示です。