行列の問題です。

質問

行列の問題です。

A,B:n×n行列
x:n×1行列

任意のxに対して、
(A+B)xとxの内積が0以上ならA+Bは正則と言えるのですか？

よろしくお願いします。

回答No.3

noname#121794 · ベストアンサー

なんで(A＋B)でやってるか分からないが(素直に行列Aとすれば済むことなのに)
x=(x1,x2,・・・xn)
(A＋B)=[ci] (i=1,2,・・・n、ciは1×n行列)
とおくと
(A＋B)x|x = x1(c1|x)＋・・・＋xn(cn|x)
= x|x1c1＋・・・・＋x|xncn
=x|(x1c1＋・・・・＋xncn)　　　(但し|は内積演算を意味する)
ここで
例えばx≠0だがx1c1＋・・・・＋xncn=0となる行列(A＋B)を定めると
確かに(A＋B)x|x≧0を満たすが、c1,・・・・,cnは一次独立ではないことに注意。
だから(A＋B)x|x≧0であっても(A＋B)は正則でないようにとろうとすればとれる。

ここからはおまけ。
仮にx≠0で任意のxに対して(A＋B)x|x≠0ならば(A＋B)は正則である。
(これぐらいは自分で考えてほしい。ヒントは今と似たやり方でやれば分かる)

お礼

考えてみます

回答No.4

Tacosan

多分, 前の質問に関連してるんですよ＞#3.
なぜか放置されてますが.

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6258419.html

回答No.2

Tacosan

「零行列による 2次形式は必ず非負」
ですよね＞#1.

回答No.1

178-tall

微妙なご質問、みたいですね。

どうやら、
　　零ベクトルでない任意の実 n 次元数ベクトル x に対し、二次形式 x~[A+B]x ≧ 0
(x~ は x の転置) ということらしい。

もしそうなら、[A+B] の固有値に零が含まれている場合を排除できないような気がしてます。
つまり、「[A+B] が非正則な場合を排除できない」。

お礼

ありがとうございました