行列の標準化について質問です。

質問

行列の標準化について質問です。

手元の参考書では、A=
1 4
3 2
の行列を対角化する際の手法として、2次元行列P
x1 x2
y1 y2
をおき、
P^-1AP=B,B=
t1 0
0 t2
とおいた際に、
AP=BPを変形し、
x+4y=tx　　]
3x+2y=ty　]・・・α
という連立方程式に変換した上で、x,yをPの成分として
Pを求めています。

解法として、Aの固有値を求めるため、α≠0としてtの範囲をもとめ(この場合はt=-2,5となります)
αにt=-2,5を代入し、
x=y=a(aは任意の数)
x=4b,y=-3b(bは任意の数)を導いています。
ここまでは理解できるのですが、参考書ではこの後、
a=1,b=1を代入して、P=
1 4
2 -3
より、P^-1AP=
5 0
0 -2
となって対角化できた、と説明しています。
Pはなぜ
1 4
2 -3
となり
4 1
-3 2
とはならないのでしょうか。
x1 x2
y1 y2
の並びの、x1とx2に2解あるXのどちら側を当てはめればよいか、
どうやって判断するのでしょうか。
固有ベクトルを算出した後、実際にP^1APを計算してどの組み合わせになるのか調べる必要があるのでしょうか？
2次行列ならまだしも、n次行列の場合は手も足も出ません。
行列の分かる方、教えていただければ幸いです。

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

>Pはなぜ
>1 4
>1 -3
>となり
>4 1
>-3 1
>とはならないのでしょうか。

4 1
-3 1

で P^-1 A P を計算してみましたか？

お礼

ご指摘の通り、Pが間違っていました。
また、P^-1の計算手順に不手際があり、
固有ベクトルをどちらに置いても、行列が対角化できることが分かりました。

更に、ナニをトチ狂ったのか、対角化行列の
-2 0
0 5
と
5 0
0 -2
を区別していました。要は同じ固有値からなる対角行列なので
どちらがどちらでもいいことですね。

ありがとうございました。

補足

当然計算いたしました。
というより、自分の中でそうやって総当りで調べるしかないので、なかなかn次正方行列(n>2)を計算することができず困っています。固有値はわかっても、Pが算出できないものも多いのです。

計算するまで標準化するための行列が分からない場合、
二次正方行列ならともかく、三次以上の正方行列では
正解を探して何度も計算するはめになると思っています。
(固有値tと、対角化行列であることが判明しているので、ある程度は手間が省けますが)。
また、n次正方行列に対して手も足も出ません。

もしかして、総当りで調べる以外に方法はないのでしょうか？

回答No.4

alice_44

P を全て求める必要はないでしょう。
一個求めれば十分ですよ。

P の全ての列を求めるときに
列と固有値の対応が解らない…と
書いておられるように読めるのですが、
もともと、固有値(tの値)をひとつ選んで
代入した式から x,y を求めたのですから、
t と x,y の対応は、その時点で解っている
はずです。

あるいは、t に対して x:y の比が
ひとつに決まらないときにどうしたらよいのか？
ということであれば、そのようなとき、
t に対する x,y は、部分ベクトル空間に
なりますから、その空間の基底を
P の列として並べればよいのです。
対角化可能な行列であれば、
それで済みます。

お礼

ありがとうございます。
>もともと、固有値(tの値)をひとつ選んで代入した式から x,y を求めたのですから、
>t と x,y の対応は、その時点で解っているはずです。

列の並べ方が分からない、というのが問題でしたが、
並べ方はどちらでもいい、ということに気づいていませんでした。
(元行列を対角化するために、無数にある行列から適当にAをピックした→対角化できれば、変換後の値の変わりようは気にしない)

回答No.3

Tacosan

#1 でいわれていることなのですが,

4 1
-3 1

で P^-1 A P を計算した結果はどうなりましたか?

お礼

当方の単純な計算ミスでした。おさわがせいたしました。

回答No.2

koko_u_u

えーと。
「すべての」P を求めたい。ということですか？

お礼

違いました。
x,yの比率だけが判明することは比率からわかっておりました。
おさわがせいたしました。