行列式

質問

「n<mのとき、m個のn項ベクトルは１次従属である」
の証明なんですが、同次連立一次方程式

a11x1+a12x2+…+a1mxm=0
a21x1+a22x2+…+a2mxm=0
　　　　　　 　　…
an1x1+an2x2+…+anmxm=0

に自明な式0*x1+…+0*xm=0を形式的にm-n個付け加えた式に定理

「ｎ次正方行列Ａ=[a1　…　an]において｜Ａ｜=0であることとa1,…,anが１次従属であることは同値である」

と、定理

「ｎ項ベクトルa1,…,amの各ベクトルの第１成分から第ｒ成分(r<n)を並べてできるｒ項ベクトルをa'1,…,a'mとおくとき、a'1,…,a'mが１次独立ならばa1,…,amも１次独立である」

を適用すればよい、と書いてあるのですが、どのように適用すればいいのかわかりません。
どなたかわかる方、教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

朝方もほとんど同じ質問に答えた気がしますが，
なれないとこのあたりは確かに分かりにくいです．
分からない場合は一般の場合ではなく，n=2，m=3とかの
具体的かつ小さい数で計算してみるのが大事です．
線型代数のこのあたりの議論は
本質的には連立方程式を加減法で解いてるだけです．

閑話休題．

>に自明な式0*x1+…+0*xm=0を形式的にm-n個付け加えた式

これの係数行列を A としましょう．
m次正方行列 A の下の m-n 行は 0 しかないので，|A|=0です
すなわち，A の列ベクトルは一次従属です．
これが最初の「定理」の適用です．
次に，

>「ｎ項ベクトルa1,…,amの各ベクトルの第１成分から第ｒ成分(r<n)を並べてできるｒ項ベクトルをa'1,…,a'mとおくとき、a'1,…,a'mが１次独立ならばa1,…,amも１次独立である」

この二つ目の定理は，証明したい定理と並べた場合に
文字がごちゃごちゃ、mとnが入り乱れているので
分かりにくいです．
この二つ目の定理は
「適当な個数のk次ベクトルが存在して，
最初のr個だけの成分でできたベクトルが一次独立だったら
もともとのベクトルも一次独立」(ただし r < k )
という風に理解します．
これの対偶をとると
「もともとのベクトルが一次従属だったら
部分的なベクトルも一次従属」です．

さて。。。m 次正方行列 A の列ベクトルは一次従属でした．
ですので，これらの「部分的なベクトル」も一次従属です．
「部分的なベクトル」として
「本来の部分」だけを取り出せばよいわけです．

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このあたりは，もうちょっと抽象的に処理する方が
文字も少なくて分かりやすいはずです．

「n<mのとき、m個のn項ベクトルは１次従属である」
なんて定理は，
n項ベクトルの空間は n 次元なので，
m(>n)個のベクトルは独立にはなれないというだけですみます．
抽象論として次元の話を構築しておいて，数ベクトルは
あくまでも一例にすぎないという立場です．
＃もちろん，抽象的にベクトル空間の話をしても
＃どうしても成分計算に相当する部分はでてきますが
＃応用が広がります．

数ベクトルにだけで議論をすると
ベクトルの成分に依存した議論になることが多いので
逆に文字が入り乱れて混乱します．

お礼

何度もすみません。ほんとによくわかりました。
今後は小さい数で考えてみること、忘れないようにします。