行列 行ベクトル 列ベクトル について

質問

行列は見方を変えるとベクトルの集まりだと考える事ができる
と思います。

質問なのですが、
X=（x1,x2）
Y=（y1,y2）
というベクトルを行列として見ると、
（x1 x2）
（y1 y2）
のように表されると思います。

ここで質問なのですが、

行列は、行ベクトルを縦に並べたもの、又は列ベクトル
を横に並べたものと説明がありました。

列ベクトルとはXベクトルを
（x1）
（x2）
と表したベクトルだと理解しています。
テキストにもこのように記載されています。

列ベクトルを横に並べたものとは、
（x1 y1）
（x2 y2）
となって上の行列と違います。

それとも、列ベクトルとは、
（x1）
（y1）
の事ですか？
（x1）
（y1）
ってどんなベクトルなんでしょうか？
与えられた（仮定した）ベクトルは、
X=（x1,x2）
Y=（y1,y2）
ですよね・・・
良くわかりません・・・

列ベクトルを横に並べたものと言う説明がおかしいの
でしょうか？
列ベクトルとはどのようなものか教えて頂けないでしょうか？

行列の積を考える場合、それぞれの型を考えて行列を作ります。
（X Y）（x1 x2）
（y1 y2）
や
（x1 y1）(X)
（x2 y2）(Y)

今回は、行列だけなので、
（x1 x2）
（y1 y2）
と
（x1 y1）
（x2 y2）
は、行列式も同じになるので特に困った事には成らないのでしょうか？
上の行列2つは転置行列になります。

X=（x1,x2）
Y=（y1,y2）
のベクトルを行列として表す場合、
（x1 x2）
（y1 y2）
と表しても、
（x1 y1）
（x2 y2）
と表してもどちらも間違いではないのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.7

noname#221368 · ベストアンサー

#4です。

　#6さんなどが繰り返し仰っているのは、#4の自分の言葉で言えば、「行列が先にあって」です。行列が先にあって、その行列に従って、列ベクトルの集まりに分解したり、行ベクトルの集まりに分解するのが筋です。

　実際行列は、列ベクトルの集まりとか、行ベクトルの集まりとかでは定義されてないはずです。行列の定義はあくまで（ちょっと省略して書きますが）、

　　A＝(aij)　　　(1)

のはずです。ここで「i」は行番号，「j」は列番号と「決めます」（決められてます）。ただ、

　　A＝(aji)

みたいな表記をたぶん見たのだと思います。これは初見では非常にわかりにくいのですが、

　　B＝(bij)　　　(2)

という行列が別にあって、たまたま任意の(i，j)で、

　　bij＝aji

であるという行列(bij)を表しています。つまり、bij＝ajiなんだから、

　　B＝(aji)　　　(3)

で何が悪い！という訳ですが、(2)を念頭に置きつつ(1)と(3)を比較すると、「あっ、BはAの転置なのね」と逆にわかる、という仕掛けになってます。これは慣れです。

補足

ご回答本当にありがとうございます。

A＝(aji)
という表記を見たわけではないのですが、

行ベクトルで表されているベクトルを列ベクトルに転置して
それを横に並べると（aji）のような成分表記になるのでは？
と疑問に思った次第です。

No.6さんのご回答で理解したのですが、
**************************************
列ベクトルを並べて作った行列の表記は、
（a11 a21）
（a12 a22）
としないとおかしいのでは？と思っていましたが
そんなことはなくて、
（a11 a12）
（a21 a22）
に対応させて考えれば良いと理解しました。
**************************************
この考え方で正しいでしょうか？

以上、何度も申し訳ありませんがご回答よろしくお願い
致します。

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri）

>列ベクトルを並べて作った行列の表記は、
>（a11 a21）
>（a12 a22）
>としないとおかしいのでは？と思っていましたが
>そんなことはなくて、
>（a11 a12）
>（a21 a22）
>に対応させて考えれば良いと理解しました。
>この理解で良いでしょうか？

行列を列ベクトルから組み立てたから、
成分表示はこうでなければいけないという決まりはありません。

[a3 b8]
[c5 d6]

だってOKです(醜いですが・・・)。

成分の表記の仕方書く側が読む側の人のために、見やすさで決めるものです。
もちろん常識的な「習慣」はありますが・・・

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

>そこで質問なのですが、
>X=
>（x1）
>（x2）
>
>Y=
>（y1）
>（y2）
>という列ベクトルを並べて作った行列は、
>（x1 y1）
>（x2 y2）
>ですが、この行列の成分表示も
>（a11 a12）
>（a21 a22）
>と言うようになるのでしょうか？

そういうふうに決めればそうなるし、特段奇異でもありません。

（X Y) (X, Y は列ベクトル) というように行列を表現すれば、要素名は

[x1, y1]
[x2, y2]

となるのは自然ですし、これが

[a11 a12]
[a21 a22]

と等しいとすれば、それは x1=a11, y1=a12, x2=a21, y2=a22
を意味するだけです。

最後の添え字が食い違うことを気にしているのでしょうか？
それはどうでもよいことなんですが・・・

[a11 a12]
[a21 a22]

で行番号を先に書くのは単なる習慣です。

補足

ご回答本当にありがとうございます。

＞最後の添え字が食い違うことを気にしているのでしょうか？
＞それはどうでもよいことなんですが・・・

列ベクトルを並べて作った行列の表記は、
（a11 a21）
（a12 a22）
としないとおかしいのでは？と思っていましたが
そんなことはなくて、
（a11 a12）
（a21 a22）
に対応させて考えれば良いと理解しました。
この理解で良いでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

〉（x1）
〉（y1）
>ってどんなベクトルなんでしょうか？

これは行列から1列切り出した列ベクトルにすぎないのですが

RYOUさんが問題にされているのはなんでしょう？

行をベースにして行列を組み立て、1列切り出しば、
成分の命名は当然こうなりますが、この命名をみると
ベクトルが違ったものに見えるのでしょうか？

行ベクトルをベースに行列を組み立てたものと列ベクトルを
ベースに行列を比べ、成分名を比べて「違う」とされていますが
どちらも2×2の行列ですよね？

行ベクトルの成分と列ベクトルの成分に同じ名前を付けて
混乱されているようですが、いっそのこと行ベクトルはA、B
列べクトルはC、Dとかにしたらいかがでしょう?

あるいは行列の4成分を

[a, b］
[c, d］

として

で、行で分解したときの行べクトルは

a b
と
c d

列で分解したときの列べクトルは

a
c

と

b
d

ではいかがでしよう?

どこが変ですか？

補足

何度もご回答ありがとうございます。

＞行列から1列切り出した列ベクトル
理解しました。
行列から切り出したベクトルと考えると違和感がありません。
私は、
（x1）
（y1）
という列ベクトルを並べて作ったと言う方向でしか考え方を
進めなかったので、
じゃあ
（x1）
（y1）
はどんなベクトルなの？
と疑問を持った次第でした。

もう一点だけ教えて下さい。
行列の成分についてです。
（a11 a12 a13）
（a21 a22 a23）
（a31 a32 a33）
が一般的に使われる行列の成分表示です。
（a11 a21 a31）
（a12 a22 a32）
（a13 a23 a33）
という成分の表示は見たことがありません。

そこで質問なのですが、
X=
（x1）
（x2）

Y=
（y1）
（y2）
という列ベクトルを並べて作った行列は、
（x1 y1）
（x2 y2）
ですが、この行列の成分表示も
（a11 a12）
（a21 a22）
と言うようになるのでしょうか？
このように行列の成分を考えると分からなくなります・・・
列ベクトルとして与えられたベクトルを並べて作る場合は、
行列の成分は、
（a11 a21）
（a12 a22）
と考えるのでしょうか？

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

noname#221368

いずれにしろ、具体例を見ながらやった方が良い（添付図）。

　行列は、添付図の(1)に示すように、（行列が先にあって）「列ベクトルを横に並べたもの」とも「行ベクトルを縦に並べたもの」とも考えられます。どう考えるかは、ケースにより使い分けます。

　例えば(2)は、最右辺から中辺へ向かえば「そりゃそうだ」とわかると思いますが、行列とベクトルの積をベクトル和で表した時などは、「列ベクトルを横に並べたもの」と考えると便利です。この表現は、高校でも使いませんか？。

　ところが内積を、(3)の中辺のように略記する記法があります。高校では出てこないと思いますが・・・。でも単なる省略記法ですからね、「そう決めたんだ」と思えば良いだけです。

　そうすると行列とベクトルの積を、(4)の中辺のように表す事も可能です。いずれ、こう考えた方が便利な（わかりやすい）ケースも出てくるはずです（大学でかな？(^^；)）。この時は、「行ベクトルを縦に並べたもの」と思った方が、便利な（わかりやすい）訳です。

補足

ご回答ありがとうございます。

具体的な例もあり分かり易いです。
つまり、行ベクトルも列ベクトルもその行列
によってそれぞれ使い分けられると言うような
認識を持ちました。

X=（x1,x2）
Y=（y1,y2）
というベクトルを行列として見ると、
（x1 x2）
（y1 y2）
については、行成分は行ベクトルと言えるが、
列成分は列ベクトルとは言わないという理解で良いでしょうか？

行列の演算をする場合は、ベクトルを行に並べたり列に並べたり
ケースによって使い分ける事は理解できました。

行列単体だけで考える場合、例えば一次独立は、
行列式｜A｜≠0を示せば良いわけですが、この場合は
ベクトルを行成分として縦に並べなければならないと
考えています。

行列は、
（a11 a12 a13）
（a21 a22 a23）
（a31 a32 a33）
と言うように表され、aijの成分で表すと、
i成分が行でj成分が列で表されます。

よって、行列単体だけを作るときに、ベクトルの成分を
列にして横に並べる事はしないのでは？と考えています。

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

178-tall

>　[ x1 ;
>　　y1 ]
>について教えて下さい。
>これは、どのようなベクトルなんでしょうか？

テキスト表示だと判り難いですが、列ベクトルの表示形式の一つです。

; は「改行記号」で、慣れたかただと、
　[ x1 ; y1 ]
と、1 行で済ませたりする。

テキスト表示でそれらしく書けば、

┌　 ┐
│x1│
│y1│
└　 ┘

…あたりかナ。

補足

ご回答ありがとうございます。

┌　 ┐
│x1│
│y1│
└　 ┘
とはどんなベクトルなんでしょうか？

X=（x1,x2）
Y=（y1,y2）
が与えられたベクトルですが、

新たに、ベクトルが出来たのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

これは行列の個々の要素にどう「名前」を付けるか? という話で
どれが正しいということはありません。

普通は

行列名(を小文字にしたもの)+行番号+列番号

ですが

行ベクトル名+列番号

でもよいし

列ベクトル名+行番号

でもよいです。

命名規則が明確であれば、問題はありません。

回答No.1

178-tall

当方の焦点が定まらぬので、手始めとして…

>列ベクトルとはどのようなものか

行列 M
　[ x1　x2 ;
　　y1　y2 ]　　　( : は改行記号)

でいうと、列ベクトル [R1} は
　[ x1 ;
　　y1 ]
です。
M は
　[R1　R2}
と記せる。

これの右から行ベクトル [X　Y] を掛ける場合なら、
　[X　Y]*[R1　R2} = [X*R1　Y*R2]
　= [Xx1+Yy1　Xx2+Yy21
と記せますネ。

…と、ここまでにて any questions ? 。

補足

ご回答ありがとうございます。

　[ x1 ;
　　y1 ]
について教えて下さい。
これは、どのようなベクトルなんでしょうか？

この点がわかりません・・・

与えられた（仮定した）ベクトルは、
X=（x1,x2）
Y=（y1,y2）
で2つなのに新たにベクトルが作られたのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。