青チャート数II 134 の場合わけ

質問

θの方程式 sin**θ+αcosθ－2α－1を満たすθがあるようなαの範囲は？
cosθ＝xとする。
で、
[1]f(x)が－1<x<1で異なる二点で交わる、接する。
[2]f(x)が－1<x<1で一点と交わり、他の一点はx<1,1<xにある。
[3]f(x)が－1<x<1とx＝－1またはx＝1で交わる。

は理解できますが、どんなふうにこんな場合わけができるにですか。

また、他に場合わけの方法はありますか？

回答No.3

kacchann

>どんなふうにこんな場合わけができるにですか。

簡単にいうと、
その解答作成者の念頭にあるのは、

まず、

二次関数がある区間で
(a)2つの解をもつとき
(b)1つの解のみもつとき
の「2つの場合」にわけてとくべきだろうな、
という考えが頭の中にあります。
この2つは「解き方が違う」から、
分けざるを得ない。

これで2つ。
---

次に、
(c)「「区間の端で解を持つとき」は分けて考えようかな」
という考えも、
解答作成者の頭にはあるものとおもわれます。

これで計3つ。
---

この問題では最後のcは区別して考えなくても
うまくいくのですが、
分けたほうがわかりやすいかもしれない。
cを区別しない場合、
a,bのケースの中で解答していく際に、
「「区間の端で解を持つとき」のことも考えてあげる」必要があります。
このとき、多少、考えにくい・・・かも。

個人的には、cは区別したほうが、
「うっかりミスしにくい」と思います。
この問題はシンプルなほうなので、
cを区別しなくてもミスしにくいから、まだいいのですが。

お礼

丁寧にありがとうございます！

何となくわかりそうです（＾∇＾）

回答No.2

ferien

＞θの方程式 sin**θ+αcosθ－2α－1を満たすθがあるようなαの範囲は？
＞cosθ＝xとする。
＞θの範囲は-1≦cosθ≦1でした。
０≦θ＜２πでしょうか？　ｘの範囲は－１≦ｘ≦１です。

sin**θ+αcosθ－2α－1
＝１－cos^2θ＋αcosθ－2α－1
＝－ｘ^2＋αｘ－２α＝ｆ（ｘ）とおくと、
ｆ（ｘ）＝－（ｘ^2－αｘ＋α^2/4）＋α^2/4－２α
＝－（ｘ－α/2）^2＋α^2/4－２α　
軸ｘ＝α/2
ｆ（ｘ）が－１≦ｘ≦１の範囲で解を持つようなαの範囲を求める問題です。
ｆ（ｘ）のグラフ（上に凸な放物線）を描いて考えます。

＞[1]f(x)が－1≦x≦1で異なる二点で交わる、接する。
（[3]f(x)が－1<x<1とx＝－1またはx＝1で交わる。）
ｘ軸に接するか交わる場合が解をもつから、
ｆ（ｘ）＝０の判別式Ｄ＝α^2－４×１×２α＝α^2－８α＝α（α－８）≧０
よって、α≦０，８≦α　……（１）
軸ｘ＝α/2が、ｘの範囲内にあれば良いから、－１≦α/2≦１
よって、－２≦α≦２　……（２）
ｆ（－１）＝－１－３α≦０より、－１／３≦α　……（３）
ｆ（１）＝－１－α≦０より、－１≦α　……（４）
（１）～（４）の共通部分が求めるαの範囲だから、
よって、－１／３≦α≦０（数直線を書いて考えて下さい）……（Ａ）

＞[2]f(x)が－1≦x≦1で一点と交わり、他の一点はx<1,1<xにある。
－１≦ｘ≦１の範囲に１つ解をもつ場合だから、
ｆ（－１）・（ｆ（１）≦０より、（－１－３α）・（－１－α）≦０
よって、－１≦α≦－１／３　……（Ｂ）
（Ａ）（Ｂ）を合わせると、－１≦α≦０

［１］［２］の２通りに分けてみました。グラフを描いて確認してみて下さい。

お礼

面倒なのにわざわざ回答ありがとうございます！
とてもわかりやすかったです！

回答No.1

ferien

ｘで場合分けする前に、θの範囲を確認する必要があると思います。
θの範囲によって、ｘの範囲が決まるからです。

お礼

ありがとうございます。

書くのを忘れていました。
θの範囲は-1≦cosθ≦1でした。

私には5通りに場合わけできる気がするのですが…。