数学II 三角関数

質問

（1）0≦θ≦2πの時、cos2θ+sin(θ+π/6)-cos(θ+π/3)=1を解け。
（2）0≦x＜2π、0≦ｙ＜2πであるとき、連立方程式
　　sinx+cosy=√3
　　cosx+siny=-1
を満たすｘ、ｙを求めよ。

解答解説ともに、よろしくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

(1)
>cos(2θ)+sin(θ+(π/6))-cos(θ+(π/3))=1
でいいですか？

そうだとすると
(左辺)-(右辺)=
cos(2θ)+sin(θ+(π/6))-cos(θ+(π/3))-1
　=1-2sin^2(θ)+((√3)/2)sinθ+(1/2)cosθ-(1/2)cosθ+((√3)/2)sinθ-1
　=-2sin^2(θ)+(√3)sinθ
　=-2sinθ(sinθ-((√3)/2))
　=0

∴sinθ=0 or (√3)/2

0≦θ≦2πより
sinθ=0　⇒　θ=0, π, 2π
sinθ=(√3)/2　⇒　θ=π/3, 2π/3

Ans.　θ=0, π, 2π, π/3, 2π/3

(2)
0≦x＜2π、0≦ｙ＜2π

　　sinx+cosy=√3
　　cosx+siny=-1

これより
　cosy=(√3)-sinx, siny=-1-cosx …(※)

sin^2 y+cos^2 y=1に代入して、式を展開・整理すると

　1+2cosx+cos^2 x +sin^2 x -2(√3)sinx +3=1
　2cosx -2(√3)sinx +4=0
　((√3)/2)sinx-(1/2)cosx=1
　sinx cos(π/6)-cosx sin(π/6)=1
　sin(x-(π/6))=1

0≦x＜2πより　-(π/6)≦x-(π/6)＜11π/6 であるから

　x-(π/6)=π/2
　∴x=2π/3

(※)より
　siny=-1-cosx=-1+(1/2)=-1/2
　cosy=(√3)-sinx=(√3)-((√3)/2)=(√3)/2
0≦x＜2πより
　∴y=11π/6

以上より

Ans. x= 2π/3, y=11π/6

お礼

参考になりました、ありがとうございます！

回答No.2

spring135

（1）0≦θ≦2πの時、cos2θ+sin(θ+π/6)-cos(θ+π/3)=1を解け。

sin(θ+π/6)=sinθcosπ/6+cosθsinπ/6=(√3/2)sinθ+(1/2)cosθ

cos(θ+π/3)=cosθcosπ/3-sinθsinπ/3=(1/2)cosθ-(√3/2)sinθ

cos2θ+sin(θ+π/6)-cos(θ+π/3)=cos2θ+√3sinθ=1-2sin^2θ+√3sinθ=1

sinθ(sinθ-√3/2)=0

0≦θ≦2πにおいてsinθ＝０より

θ=0またはπまたは2π

または

sinθ＝√3/2より

θ=π/3または2π/3

（2）0≦x＜2π、0≦ｙ＜2πであるとき、連立方程式
　　sinx+cosy=√3 (1)
　　cosx+siny=-1　　　(2)
を満たすｘ、ｙを求めよ。

(1)^2+(2)^2より

sin^2x+2sinxcosy+cos^2y+cos^2x+2cosysinx+sin^2y=4

sin^2x+cos^2x=1,sin^2y+cos^2y=1,sinxcosy+cosysinx=sin(x+y)を用いて

sin(x+y)=1 (3)

0≦x＜2π、0≦ｙ＜2πより

0≦x+y<4π、(3)を満たすx+yは

x+y=π/2またはx+y=5π/2

いずれの場合も

cosx=siny,cosy=sinx

(1)より

sinx=√3/2

x=π/3,2π/3 (4)

(2)より

siny=-1/2

y=7π/6,11π/6　　　(5)

1)x+y=π/2のとき

(4)、(5)のいずれのx,yの組み合わせもx+y=π/2を満たさないので解ではない。

2)x+y=5π/2のとき

x=2π/3、y=11π/6はx+y=5π/2を満たす。

答え

x=2π/3、y=11π/6

お礼

大変助かりました、ありがとうございます！