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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:数学IIB青チャートのP200の問題)

数学IIB青チャートP200の問題の解答

このQ&Aのポイント
  • 数学IIB青チャートのP200の問題について、解答をまとめました。
  • 問題文では、aを定数とするθに関する方程式 cos^2θ + cosθ - a - 1 = 0 の解の条件と解の個数を求める問題です。
  • 解答には場合分けをしてaの範囲ごとに解の個数を求める方法を使いましたが、解答の方式は異なる場合もあります。

質問者が選んだベストアンサー

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  • Mr_Holland
  • ベストアンサー率56% (890/1576)
回答No.2

>私のやり方(「x軸と接する場合」「x軸と一点で交わる場合」「x軸と二点で交わる場合」に場合分けをしたやり方)から解を出す方法を教えてください。  x=±1のときだけ θの解は1個だけになり、x≠±1のとき2個になることをおさえておけば十分なような気がします。 (a) -1≦x≦1の範囲でx軸と接する場合 (a=-5/4 のとき)   このとき x=-1/2 (≠±1)なので θは2個 (b) -1≦x≦1の範囲でx軸と二点で交わる場合 (-5/4<a≦-1 のとき)   a=-1 のときだけ x=-1 という解を含むので θは3個   それ以外の -5/4<a<-1 のとき -1<x<0 で2解をもつので θは4個 (c) -1≦x≦1の範囲でx軸と一点で交わる場合 (-1<a≦1 のとき)   a=1 のときだけ x=1 という解を含むので θは1個   それ以外の -1<a<1 のとき 0<x<1 で1解を持つので θは2個 (d) -1≦x≦1の範囲でx軸と交わらない場合 (a<-5/4,1<a のとき)   xは解をもたないので θも解をもたない。 0個  後は上記をまとめて整理するだけです。 >a<-5/4のとき0個、a=-5/4のとき2個、-5/4<a<-1のとき4個、a=-1のとき3個、-1<a<1のとき2個、a=1のとき1個、1<aのとき0個

keroro429
質問者

お礼

皆さま回答ありがとうございました。

その他の回答 (3)

回答No.4

>三角方程式の解とは「角」であって、「x軸との共有点」ではない、たとえば、x軸と1/2で交わっていた場合、解とは「π/3、5π/3」の「二つ」となるんですよね? それが解ってるなら話は早い。cosθ=0の時は θの解が2個、cosθ=1のときはθの解が1個、cosθ=-1の時はθの解が1個である事に注意すれば後は簡単に行く。 >また、問題集の解説では、cos^2θ + cosθ - 1 = a として解いているため、(2)も解き方が違い分かりません。 問題集の解の方が視覚的にもミスを防げるし、解も簡単に行く。 問題の設定が、いかにもそのように考える、と言ってるようだ。 cosθ=tとする(|t|≦1)と、a=t^2+t-1=(t+1/2)^2-5/4 として、|t|≦1の範囲で y=(t+1/2)^2-5/4のグラフを書く。 それと、y=aとの交点の数が解の個数である事は2次関数でやっただろう。それに三角関数を加味したに過ぎない。 但し、tとθの個数の対応が1対1とは限らない点が、三角関数の特徴だ。 cosθの値が、第1と第4象限ではプラス、第2と第3象限ではマイナスになる事に着目する。 (1)0≦t≦1の時 つまり、第1と第4象限で考える。 t>1の時、つまりa>1の時θの解はない 0<t<1の時、交点は1個から つまり|a|<1のθの解は2個 t=1の時、a=1から θ=0のみだからθの解は1個 t=0の時 a=-1から θ=π/2、3π/2 からθの解は2個 (2)-1≦t<0の時 つまり、第2と第3象限で考える t=-1の時、a=1から θ=0のみだからθの解は1個 t=-1/2の時 a=-5/4からθの解は2個 t<-1の時、a>-5/4の時θの解はない -1<t<0の時、つまり-5/4<a<-1の時は 交点は2個から のθの解は4個

  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.3

こんにちわ。 「変数を置き換えている」ということを しっかり頭に入れておく(意識しておく)ことがポイントですね。 たとえば、以下の sの4次方程式の解を考える問題も同様です。 s^4- 4s^2- a- 1= 0 s^2= tとでもおけば、2次方程式の問題に置き換わります。 ただし、t≧ 0という条件がつきますね。 いまの問題でいえば、-1≦ x≦ 1という条件がつくことと同じです。 そして、解の個数を考えるときには ・置き換えた xや sが重解となっていても、θや tが 1つとは限らない。 例)x= -1/2で重解をとったとしても、θ= 2π/3, 4π/3となって解は 2つ存在する。 ・xや tの「境界」では、θや sは 1つになってしまう。 x= 1や x= -1、 t= 0のときには、解は 1つだけになってしまいます。 三角関数の方程式を扱う時には、±1のときに注意しないといけないということです。 >また、問題集の解説では、cos^2θ + cosθ - 1 = a として解いているため、 >(2)も解き方が違い分かりません。 基本的な考え方は同じです。 ・keroro429さんの方針では、y= x^2+ x- a- 1と y= 0(x軸)の交点を考えています。 ・問題集では、y= x^2+ x- 1と y= aの交点を考えています。 いずれも連立方程式をグラフ上で考えているだけです。 ただ、問題集の方が y= x^2+ x- 1という「固定された」グラフに対して、 y= aを動かすだけなので考えやすいのです。 ぜひ、この方法もマスターしておいてください。 いまの問題ですが、いきなり (2)だけだと y= x^2+ x- 1と y= aで考えたんじゃないかなあ?と思いました。 (1)が判別式だけで考えることも可能なので、そこから keroro429のような方針を立てる人も多いと思います。 すると、「(1)と (2)の考え方が違う」ように見えてしまいますね。^^

  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)
回答No.1

> a=-5/4のときと、 -1<a≦1 のとき の解は一個 > -5/4<a≦-1 のときの解は二個 > としました。これは単純にx軸との共有点の個数を解にしました。 > つまり、二次関数のときとまったく同じように答えてしまったわけです。 > これは答えるものすら間違っているということですよね? > > 三角方程式の解とは「角」であって、「x軸との共有点」ではない、たとえば、x軸と1/2で交わっていた場合、解とは「π/3、5π/3」の「二つ」となるんですよね? 大雑把に考えれば、「1つのxの値に対し、2つのΘが対応する」ので、 -5/4 < a ≦ -1 のときのxの解は2個 ↓ 「-5/4 < a ≦ -1 のときのΘの解は4個? という予想が立ちませんか? ただし、たまに「1つのxの値に対し、1つのΘしか対応しない場合」が存在します。 それを考慮したうえで上記の「予想」を照らし合わせて考えてみるとよいかもしれません。

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