数IIの問題です

質問

0<θ<πとする。xの2次方程式x^2+(sinθ+√3cosθ)x+(２+√2)=0…⓵が異なる2つの実数解をもつようなθの値の範囲を求めよ。
⓵の判別式をDとするとD/4=√アsin2θ＋cos２θー√イであるから⓵が異なる２つの実数解をもつ条件は√アsin2θ+cos2θー√イウ0である。ウに当てはまるものを(2)～(4)のうちから一つ選べ。(2) < , (3) = ,(4) >
よって⓵が異なる２つの実数解をもつようなθの値の範囲はπ／エオ<θ<カ／キクπである。
自分では難しくて解けませんでした。ご回答宜しくお願いいたします。

回答No.4

spring135 · ベストアンサー

>0<θ<πとする。xの2次方程式x^2+2(sinθ+√3cosθ)x+(２+√2)=0…⓵が異なる2つの実数解をもつようなθの値の範囲を求めよ。

D/4=(sinθ+√3cosθ)^2-(２+√2)=sin^2θ+3cos^2θ+2√3sinθcosθ-2-√2

=1+2cos^2θ+√3sin2θ-2-√2 (倍角公式）

=(2cos^2θ-1)+2+√3sin2θ-2-√2

=cos2θ+√3sin2θ-√2 (倍角公式）

異なる２つの実数解を持つのは

D/4>0

すなわち

cos2θ+√3sin2θ-√2＞0 (2)

ア：3 イ：2 ウ：(4)

(2)を解くにはいわゆる単振動の合成を行う。

(2)/2

(1/2)cos2θ+(√3/2)sin2θ>√2/2

1/2=sin(π/6), √3/2=cos(π/6)

より左辺は

(1/2)cos2θ+(√3/2)sin2θ=sin(π/6)cos2θ+cos(π/6)sin2θ=sin(2θ+π/6) (加法定理)

よって(2)は

sin(2θ+π/6)>√2/2

これはしっかりグラフを書くこと。ここで実力が出る。

交点は√2/2=π/4

なので

2θ+π/6=π/4, 2θ+π/6=π-π/4

から求める。

結果は

π/24<θ<7π/24

エ：2　　オ：4　　カ：7　　キ：2　　ク：4

お礼

大変遅くなりすみません。
ありがとうございました助かりました！

回答No.3

alice_44

問題を改変する必要は
無いんじゃないの？

回答No.2

spring135

＞x^2+(sinθ+√3cosθ)x+(２+√2)=0…⓵

間違いです。

正しくは

x^2+2(sinθ+√3cosθ)x+(２+√2)=0…⓵

です。

補足

すみません。私が間違っていましたx^2+2(sinθ…でした
もう一度解いてみます

回答No.1

alice_44

とりあえず、√ア とか √イ とかは置いといて、
D を何らかの式で書いてみよう。
それから、ウ の答えは自力で解らないと。
そこまでが、二次方程式に関する部分。

そこから先は、三角比に関する部分となる。

まず、何で躓いたのかを突き止めることから
始めよう。
解ったとこまでを、補足に書いてごらんなさい。