偏微分

質問

f(x,y)=(x^2+y^4)^(1/2)のとき、ｆx(0,0),ｆy(0,0)を求めよっていう問題なんですが、
ｆx=x(x^2+y^4)^(-1/2),ｆy=2y^3(x^2+y^4)^(-1/2)になりますよね？
おかしかったらおかしいところをご指摘願います。

回答No.7

stomachman · ベストアンサー

#5の補足について、ナニしましょう。
もうちょっとキチンと言うと、「x→0 における極限」てのは、「xをどういうふうに0に近づけようと同じ値に収束する」場合に定義されるんです。
x→+0 というのは、x>0を維持したままで、xをどんどん0に近づけるってことです。x→-0 はx<0を維持したままで、xをどんどん0に近づけるってことです。
fx(x,0)=sgn(x)
のグラフはx=0のところで飛んでいますんで、
x>0 なら fx(x,0)=1 ですから、 x→+0 ではfx(x,0)=1が極限。
x<0 なら fx(x,0)=-1 ですから、 x→-0 ではfx(x,0)=-1が極限。
両方の極限が一致しないということは、x→0のときf(x,0)は収束せず、すなわちx=0においてはf(x,0)のxによる微分が存在しないってことです。

> 微分してから代入してもいいし、する前に近づけてもいいってことですか？

「yを0に近づける」という操作は必要ないんです。
微分してからy=0を代入しても良いし、先にy=0を代入しといても良い。

お礼

よくわかりました。有難うございます。

回答No.6

eae

どうも変なことを申しておりました。
#3で良いですね。
混乱させて申し訳ないです。

(ありがとうございます > stomachmanさん)

回答No.5

stomachman

#3の補足と、それから回答者同士がアレするのは一応アレなんで、解説の追加ってことでコメントします。

まず
(x^2)^(1/2) = |x|
であることは、左辺のxにたとえば-2を代入して素直に計算してみればわかります。間違えやすいところですから、「要チェック」とだけ憶えておくべきでしょう。

２変数関数fの偏微分の定義として、フツーに
「(f(x+Δx,y)-f(x,y))/Δx の Δｘ→0 における極限が存在するならば、それをf(x,y)のxに関する偏導関数という」
を採用すれば、∂f(x,0)/∂x を求める時に、yを変数のままにして
fx(x,y)= x(x^2+y^4)^(-1/2)
とやってからy=0にするのと、
fx(x,0) = x(x^2)^(-1/2)
とやるのと、ナニモ違わないです。yに関する極限操作をやる理由はありません。
たとえば、
g(x,y)=(xyが無理数なら1,有理数なら0)
という関数gについて、gx（=∂g/∂x)は y≠0の場合には存在しないけれど、y=0であればgx(x,0)=0である。つまり
gx(x,y)=(y=0のときは0,y≠0の時は定義されない）
ということです。

　x(x^2)^(-1/2)　= x / |x| = sgn(x)
　 (ここに、sgn(x)てのは符号関数。x>0なら1, x<0なら-1,x=0では定義されない）
ですから、∂f(x,0)/∂x はx=0では定義されない。
　これを
　x→+0のとき　fx(x,0)= 1
　x→-0のとき　　fx(x,0)= -1
ゆえにx→0のとき　　fx(x,0)の極限は存在しない。
とやってももちろん構わないです。

　しかし、
f(x,0)=|x|
に気が付けば、わざわざ微分の計算をしてみるまでもなく、fx(0,0)が存在しないことは分かります。

補足

文体が面白いと思いました。アレ・・・・ｗｗ、
私はまだ理解に苦しんでるので、質問させていただきますが、　x→+0のとき　fx(x,0)= 1
x→-0のとき　　fx(x,0)= -1が理解できません。高校の時とんがってるところはそういえば微分できないって教わった記憶はあるのですが 。
＞fx(x,y)= x(x^2+y^4)^(-1/2)
＞とやってからy=0にするのと、
＞fx(x,0) = x(x^2)^(-1/2)
＞とやるのと、ナニモ違わないです
微分してから代入してもいいし、する前に近づけてもいいってことですか？

回答No.4

eae

ちょっと気になったのでコメントです。

#3の回答に関してですが、
先に値を放り込んで微分する解法は
結果的に正しい答えを出す場合もあると思いますが、
一般には偏微分した後極限をとらないといけないと思うのですが、
どうなんでしょうね。

また、後半はあらゆる方向から近づいたとき0
になることをきちんと言わないといけないのではないでしょうか。
それはほとんど自明ですが...

(もしstomachmanさん御存じでしたら
返信の際にその点教えてほしいのですが...)

変なこと言ってたごめんなさい。

回答No.3

stomachman

xとyが独立の実変数ってことですね。単純にいきましょう。

fx(0,0)てのはつまり、「yを0に固定してfをxだけの関数だと思って、xで微分したら、x=0においてそれはいくらか？」というんです。
だからまずy=0にしてみる。
f(x,0)=(x^2)^(1/2)
これは任意の実数値xについてちゃんと定義されていますね。じゃ右辺を簡単にしてみましょう。
f(x,0)=|x|
絶対値が付きます。（ここんとこ、忘れやすいですね。）んですから、これをxで偏微分すると
fx(x,0)= ∂f(x,0)/∂x = (x>0のときは1、x<0のときは-1。x=0では定義されない）
てことになります。最後にxに0を入れてみると、
f0(x,0)= 定義されない
てことでやんす。絶対値のグラフの、とんがっている所に当たるわけですね。

fy(0,0)のほうは「xを0に固定してfをyだけの関数だと思って、yで微分したら、y=0においてそれはいくらか？」というんですから、
f(0,y)=(y^4)^(1/2)
簡単にすると
f(0,y)=y^2
です。これをyで微分したら
fy(0,y)=2y
で、yに0を代入して
fy(0,0)=0

補足

何故絶対値がつくのですか？覚えるものですか？

回答No.2

noname#5537

偏微分の定義に戻ってみると，
　fx(0,0) = lim_{h→0} (f(0+h,0) - f(0,0))/h
です。
ご質問の問題の場合，この極限は存在しません。

fy(0,0) のほうは極限が求まります。

補足

どのようにしたら極限が求まるのですか？

回答No.1

syumai

合ってると思います。

fx=x/(x^2+y^4)^(1/2)
fy=2y^3/(x^2+y^4)^(1/2)

書き換えるとこうですよね

補足

答えはｆx(0,0)なし,ｆy(0,0)＝０です。どうやったら、このようになるんでしょうか？