本当に困っています…orz(全微分)

質問

全微分可能の定義の説明をしなさいという課題なのですが、過去２回提出したものの、理解不十分と評価されました。どの部分かの指摘が無いので、先に進めません。

まことに申し訳ありませんが、以下の考え方の間違っているところ等、ご指摘ください。
宜しくお願いします。

>>関数f(x,y)の点(a,b)における全微分可能を説明します。

関数f(x,y)の定義域内で点(a,b)が点(a+Δx,b+Δｙ)へ移動したとき、変化量はＡ、ＢをΔx,Δｙと無関係な定数として、

lim[(Δx,Δｙ）→0]　ε=0　の条件のもと、
ｆ(a+Δx,b+Δｙ)-ｆ(a,b)=ＡΔx+BΔｙ+ε√(Δx^2+Δy^2)

Δｙ=0の時、ｆ(a+Δx,b)-ｆ(a,b)=ＡΔx+ε|Δx|より
Ａ={ｆ(a+Δx,b)-ｆ(a,b)}/Δx-{ε|Δx|}/Δx

Δx→0を考えると、lim[(Δx,Δｙ)→0]　ε=0より
Ａ=lim[Δx→0]　{ｆ(a+Δx,b)-ｆ(a,b)}/Δx=ｆｘ(a,b)…xの偏微分

同様にΔｘ=0の時、Δｙ→0を考えると、
B=lim[Δｙ→0]　{ｆ(a,b+Δｙ)-ｆ(a,b)}/Δｙ=ｆy(a,b)…yの偏微分

以上より、変化量は
Δｆ=ｆｘ(a,b)Δx+ｆy(a,b)Δｙ+ε√(Δx^2+Δy^2) かつlim[(Δx,Δｙ)→0]　ε=0
で表される。この時、関数f(x,y)は点(a,b)において全微分可能である//

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

初見では、どこが問題なの？、と思いました。
　先生の性格と、結局どこまで求められているか？、によると思いますが、可能性を3つ挙げます。

１．書き方の問題
　細かい話ですが・・・。

　関数f(x,y)の定義域内で点(a,b)が点(a+Δx,b+Δｙ)へ移動したとき、Δx,Δｙと無関係な定数Ａ，Ｂと、

　　lim[(Δx,Δｙ）→0]　ε=0　

を満たすεとが存在し、任意のΔx,Δｙで、

　　ｆ(a+Δx,b+Δｙ)-ｆ(a,b)=ＡΔx+BΔｙ+ε√(Δx^2+Δy^2)

となるとき、全微分可能。

　・・・が、ふつうの書き方と思います（これが定義）。こう言い切った後で、「定義の条件より、lim[(Δx,Δｙ）→0]　ε=0とすれば・・・」と続ける。

　質問文の書き方では、「Δx,Δｙは微小」、また、どんな関数でも「lim[(Δx,Δｙ）→0]　ε=0」が成り立つと誤解されるかも知れない。「任意のΔx,Δｙ」「・・・が存在し」とはっきり書いてないから。まぁ～、それくらい汲み取れよって気もしますが・・・。

２．必要十分性を求められている
　質問文の後半で、Ａ＝fx，Ｂ＝fyを導いてますが、これは全微分可能である事の必要条件です。意地悪な例をあげれば、x方向，y方向に微分可能であっても、斜め45度方向の微係数は不連続になり、グラフに角が立つかも知れないからです。それで普通は、fx，fyは少なくともその点で連続という条件をつけます。
　fx，fyの連続性は、全微分可能の十分条件で、必要十分条件ではなかったと思います。全微分可能の必要十分条件を問われているなら、ちょっと厄介だなぁ～、という印象です。

３．定義でなく、説明を求められている
　質問文の内容は実質、全微分の「定義」です。定義を挙げるのでなく、「定義の内容を説明せよ」が課題の心なのかも知れません。
　これは明らかなので言って良いと思いますが、全微分の式のΔx,Δｙを、そのまま延長したら自然に接平面になるなどの、例えば幾何学的意味（説明）がない、という事では？。

　自分は３．が一番臭いと思うのですが、どうでしょう？。いずれにしろ、何が駄目なのかを直接、先生にきくべきだと思います。例えば1.～3.にように、質問の意図を明確にしてきけば、先生はけっこう喜ぶものですよ^^。

　逆に意図が不明確だと、怒られる可能性大です。「もっと調べてから、来い！」と・・・^^;。

お礼

的確なご指摘ありがとう御座います。

幾何学的意味について補填して再提出しようと思います。
通信教育で学んでいるので、質問自体は手段が確保されているのですが、返答まで１～２ヶ月かかる可能性などありまして実用性に欠けるのです…orz

回答No.2

kabaokaba

＞理解不十分と評価されました。どの部分かの指摘が無いので、先に進めません。

大学生だと思うのではっきり書きます．
「どの部分か」なんていえないくらい，
「だめ」なんです．
＃大学生にもなって「どの部分か指摘がないから」なんてのは
＃考えが甘いという意見もあるけど

定義にもなってなければ
説明にもなってません．
これは教科書や参考書，授業のノートなどを見直せば，
答えはでてるレベルです．

そもそも「ε」ってなに？
Δx,Δｙとどういう関係がある？
f(a+Δx,b+Δｙ)-ｆ(a,b)=ＡΔx+BΔｙ+ε√(Δx^2+Δy^2)なんてどうしてかけるの？
「Ａ=lim[Δx→0]　{ｆ(a+Δx,b)-ｆ(a,b)}/Δx=ｆｘ(a,b)…xの偏微分」
って全微分の定義に関係ある？

「定義」を「説明」するのに
「関数f(x,y)は点(a,b)において全微分可能である」
っていってしまうのは，日本語的にも論理的にも問題があるのでは？

お礼

的確なご指摘、ありがとう御座います。

>>そもそも「ε」ってなに？
>>Δx,Δｙとどういう関係がある？

そのあたりの説明を厳密に書いて再提出しようと思います。
とても参考になりました。

回答No.1

noname#128854

この示し方は良く分かりませんが、同様のことが乗っているサイトを見つけました。
ε=0じゃなくてε→0じゃじゃですかね？意味が違うので。

参考URLから
>>カテゴリー別分類>>微分>>偏微分>>全微分可能
と進んで見てください。

参考URL：

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/index.html

お礼

ご指摘、ありがとう御座います、いろいろ調べてみます。