何故偏微分が法線の成分に

質問

関数f(ｘ，y，z)＝0という曲面があって曲面上のある点Pの接平面を求めるとき
　Fx*X'＋Fy*Y'+Fz＊Z＝０という式が出ます。
この式の意味するところはFx Fy FzがP点での法線ベクトルのx y z成分になるということらしいのですがよく理解出来ません。何故偏微分が法線ベクトルの成分になるのでしょうか？教えてください！

回答No.5

jacorro · ベストアンサー

＞＞斜面の勾配が最も急な向きは、(Fx, Fy) で与えられることは感覚的に納得できるでしょう。
＞ここがよく分かりません。Fx＝x-y平面でx方向のみ移動させた時のZの増加率になりますよね。何故これが法線ベクトルのx方向になるかが分かりません。

ここで言ったのは、(Fx,Fy)というベクトルが、"最大の勾配の方向"を与えるということです。
つまり、斜面にボールを置いたとき、-(Fx,Fy)の方向に転がるということです。
そして、"最大の勾配の方向"は等高線と垂直なはずだから、(Fx,Fy)は等高線の法線と同じ方向だと分かる。
ということなのですが、これで質問の回答になっているでしょうか…。

以下、(Fx,Fy)が"最大の勾配の方向"を与える理由を書きます。

F(x,y)を全微分すれば、
　　dF = Fxdx + Fydy = (Fx,Fy)・(dx,dy)
よって，(dx,dy)が(Fx,Fy)と同一方向のとき dF は最大，すなわち (Fx,Fy) は"最大の勾配の方向"を与える．

イメージとしては次のような感じです。
F(x,y) = ax （x方向に傾いた板）では、(Fx,Fy) = (a,0) でx方向を向くベクトル。
F(x,y) = by （y方向に傾いた板）では、(Fx,Fy) = (0,b) でy方向を向くベクトル。
F(x,y) = ax+by （x方向とy方向の傾きを持つ板）では、(Fx,Fy) = (a,b) で斜面の方向を向くベクトル。（ノートか何かを傾けて確認してみるといいかもしれません）
微分可能な曲面は局所的には平面とみなせるから、(Fx,Fy) はその点での"最大の勾配の方向"を与えます。

ところで、ベクトル解析では(Fx,Fy)というベクトルを、grad F とか、∇F と書くのですが、ご存知ないでしょうか…。
もしご存知ないなら、私の説明は分かりにくいかもしれません。
参考までにwikipediaのURLの載せておきます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D

お礼

遅れて申し訳ありません。なんとなく分かった気がします。丁寧に教えていただいてありがとうございました！

回答No.4

jacorro

No.3 の者です。前の説明は、回りくどく書きすぎた気がするので、簡潔に書き直します。
伝えたかったイメージは、例えば、電気力線と等電位面の関係です。
「スカラーポテンシャル場 F(x,y,z) が与えられたとき、F(x,y,z)=0 は等ポテンシャル面、grad F はこの面に垂直」
これだけの事です。証明ではなく、ただの物理的なイメージですのであしからず。

回答No.3

jacorro

偏微分が法線ベクトルの成分となる理由を接平面を用いずに直感的に考えてみました。
質問の意図とは違うかもしれませんが、参考になれば幸いです。
厳密な議論ではなく、あくまでイメージを掴むためのお話ですからその点はご了承ください。
（絵を描いて説明できるといいのですが、文章は難しいですね…）

3次元で考えるのは分かりにくいので、まず2次元の場合を考えてみましょう。

z = F(x,y) とします。
x,y平面の各点に応じて高さzが決まると考えます。
地図帳を開いてみれば分かると思いますが、z=一定　は等高線であり、斜面の最も急な向きは等高線に垂直になることがわかります。
斜面の勾配が最も急な向きは、(Fx, Fy) で与えられることは感覚的に納得できるでしょう。
なぜなら、このベクトルは、x方向の勾配が急であるほどx成分が大きくなり、y方向の勾配が急であるほどy成分が大きくなるからです。
以上の議論から、つぎの3つのベクトルの方向が同じであることがわかりました。
1．F(x,y)の値（高さz）が最も変化する方向（最も急な方向、勾配ベクトル）
2．F(x,y)=一定 という陰関数の法線の方向（等高線の法線）
3．(Fx, Fy)

せっかく上のように考えたのですから、簡単な例で確かめてみましょう。
F(x, y) = x^2 + y^2 とします。
1．F(x,y)の値が最も変化する方向 は z=F(x,y) のグラフをイメージすれば分かるように原点から放射状の向き
2．F(x,y)=一定 の法線の方向は、F(x, y)=r^2 は半径rの円だから、円の法線の方向、つまり放射状の向き
3．(Fx, Fy) = (2x, 2y) で放射状の向き

さて、次に3変数関数F(x,y,z)について考えたいのですが、この関数のグラフを描くには4次元が必要なので、少し考え方を変えます。
先ほど、z=F(x,y)とした、高さzの値を、x-y平面の各点に直接書き込んでしまいます。
x-y平面に数値がぎっしりと書き込まれている状態をイメージしてください。
この考え方で、先ほどの
F(x, y) = x^2 + y^2 を調べてみたいと思います。
F(x, y)=r^2 は半径rの円だから、x-y平面には、同心円状では同じ数値、原点から離れるほど大きく、原点に近いほど小さい数値が書き込まれています。
さらに、F(x, y)=一定 の法線はx-y平面に書き込んだ数値が最も変化する方向（この場合放射状の向き）を向いています。
つまり、法線の方向は(Fx, Fy) = (2x, 2y)。

これで3変数関数F(x,y,z)について考える準備ができました。いままでのイメージを3次元に拡張しましょう。
F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 とします。
F(x, y, z)=r^2 は半径rの球面だから、x-y-z空間には、同一球面上では同じ数値、原点から離れるほど大きく、原点に近いほど小さい数値が書き込まれています。
さらに、F(x, y, z)=一定 の法線はx-y-z空間に書き込んだ数値が最も変化する方向（この場合放射状の向き）を向いています。
つまり、法線の方向は(Fx, Fy, Fz) = (2x, 2y, 2z)。

F(x,y,z)を一般の関数の場合を考えれば、
F(x,y,z) = c = 一定
という平面は、c の値を増減すれば、ちょうど球面が膨らんだりしぼんだりするのと同じように等高線（面）が変化するので、
その変化の最も大きい方向が法線方向だというイメージができると思います。

補足

ご丁寧なご回答ありがとうございます。色々考えましたがよく分からないところがあるので質問します。

＞斜面の勾配が最も急な向きは、(Fx, Fy) で与えられることは感覚的に納得できるでしょう。

ここがよく分かりません。Fx＝x-y平面でx方向のみ移動させた時のZの増加率になりますよね。何故これが法線ベクトルのx方向になるかが分かりません。
zの増加率→ベクトル成分（x方向）という　発想の転換が出来ないのです。偏微分を理解していなかったつけが今来ています。頭が固まってしまっているので、簡単なことかもしれませんね。教えてください！どうぞよろしくお願いします！

回答No.2

scale--free

なかなか分かりにくいと思います。
なぜなら、微積とか線形代数の問題ではなくて、幾何の問題だからです。

F(x,y,z)=0という曲面をΣとします。つまり、
Σ = { (x,y,z) | F(x,y,z)=0 }
です。
また、c(t) = (x(t), y(t), z(t))を曲面Σの上にある曲線として、t=0で点Ｐを通るとしましょう。
すると、dc/dt(t=0)というのは、曲面Σの点Ｐにおけるある接ベクトルになっています。
そこで、この接ベクトルをわかりやすいように、
dc/dt(t=0) = (X', Y', Z')
としましょう。

曲線c(t)は曲面Σの上にのっているので、F(x(t),y(t),z(t))=0 です。
これをtで微分して、t=0とすると、
Fx*X'＋Fy*Y'+Fz＊Z'＝０　　　　　‥‥‥(☆）
という式がでます。
(X', Y', Z')が曲面Σの点Ｐにおける接ベクトルでしたから、(Fx, Fy, Fz)はその接ベクトルと直交していることがわかります。

曲線c(t)をいろいろ取り替えると、点Ｐにおける接ベクトルをいろいろ取り替えることが出来ます。
つまり、どんな接ベクトル(X', Y', Z')ともベクトル(Fx, Fy, Fz)は直交していることになります。
ということは、法線ベクトルの定義から、(Fx, Fy, Fz)は点Ｐにおける曲面Σの法線であることが判りますね。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

masudaya

この質問では,
1)接平面の式がなぜこのようになるかが分からない.
2)接平面の式と法線ベクトルの関係が分からない.
3)1),2)両方分からない
のどれかがよく分かりません.
1)については,なんとなくfを全微分すればそんな感じになるように思います.これは微積の教科書に書いてありますよね.
2)がよく分からないように思いましたので,少し詳しく,平面の方程式ax+by+cz=1は平面上の1点(x0,y0,z0)を取ってa(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0となり書き換えて
aX+bY+cZ=0とすると,(a,b,c)・(X,Y,Z)'=0　('は転置の意味)となる.実際の位置ベクトルは(X,Y,Z)なのでこの式より,これは(a,b,c)に垂直,つまりこれが平面の法線ベクトルになる.これも,私のころは高校の代数幾何でやりました.

補足

接平面の式の意味は分かります。内積の関係よりaX+bY+cZ=0でXYZの係数が法線ベクトルになることも分かってます。
　ただ偏微分が法線ベクトルになるという　イメージが沸かないのです。yzを一定としてFを微分→法線ベクトルのｘ成分になる　ということが腑に落ちないのです。
　接平面の式が導出され、その形から、Fx Fy Fzが係数になるから法線になると考えてよいのでしょうか？