全微分を理解する際の質問です。

質問

全微分は関数z=f ( x , y )に対して

dz=fx ( x , y ) ｄｘ- fy ( x , y ) ｄｙ

と表しますが、これをz=f ( x , y )の増分

Δz=f ( x+Δx , y+Δy ) - f ( x ,y )

から導く際の導出について質問です。

このとき、平均値の定理から

f ( x+Δx , y+Δy ) - f ( x ,y )＝fx ( x+θΔx , y ) Δx- fy ( x , ｙ+φΔy )Δy (ただし、θとφは0<θ<1　,　0<φ<1とする）

ここで、Δx→0 , Δy→0すると

fx ( x+θΔx , y )=fx ( x , y ) + ε(Δx) , fy ( x , ｙ+φΔy )+ε(Δy)
（εは誤差.。カッコの中身は区別のために付けました）

なので

Δz=fx ( x , y ) Δx- fy ( x , ｙ )Δy +ε( Δx ,Δy )
(ε( Δx ,Δy )＝ε（Δx)Δｘ + ε(Δy)Δyとした）

ここで、dzをΔｚの近似と考えると

Δz=dz + ε( Δx ,Δy )

と表せる。このとき

lim[（Δx　, Δy)→(0,0)]　ε( Δx ,Δy )/√(Δｘ^2＋Δｙ^2）＝0

となっていればよい。

こんな感じのことが書いてあったのですが、どこから

√(Δｘ^2＋Δｙ^2）

が出てきて

lim[（Δx　, Δy)→(0,0)]　ε( Δx ,Δy )/√(Δｘ^2＋Δｙ^2）＝0

となれば全微分可能なのでしょうか。

よろしくお願いします。

追伸
先ほど、間違った内容で質問をしました。そちらは自分で間違った認識をして回答者様にもご迷惑をおかけしました。申し訳ありません。また今回も間違ってる可能性がありますので、その際はご指摘いただけると幸いです。よろしくお願いします。

回答No.2

meowcoooo

私はこのサイトで理解さしてもらいました

参考URL：

http://psuke.hungry.jp/math/mathintoro7a.html

お礼

回答ありがとうございます。

とても直感的にわかりやすいサイトですね！

参考にさせて頂きます！

ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

そもそも「全微分可能」はどう定義されている?

お礼

いつも回答ありがとうございます。すごく助かっております。

全微分可能性の定義は

Δz=fx ( x , y ) Δx- fy ( x , ｙ )Δy +ε( Δx ,Δy )

において

ε( Δx ,Δy ) /√(Δx^2 + Δy^2 ) ＝0

となるとき全微分可能である。

あ、私の書いたのは全微分ではなく、全微分可能の定義についてだったんですね！