指数やLogが含まれる2変数関数 f(x,y)の偏微分について

質問

こちらの皆様のおかげで、2変数関数 f(x,y)の偏微分の解き方が
ようやく理解できました。大変ありがとうございました。
それで、追加の質問で申し訳ないのですが、
以下の解き方があっているか、ご指導のほど、よろしくお願いします。

【問題】
次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。
すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。

(5) Log √(x^2+y^2+1)
先に質問をした回答より、
fx(x,y)(x^2+y^2+1)=x/√(x^2+y^2+1)
fy(x,y)(x^2+y^2+1)=y/√(x^2+y^2+1)
また、(Log x)'=1/xの公式と合わせて,
Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/x
Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/y

(6) e^(xy)
fx(x,y)=e^(xy)
fy(x,y)=e^(xy)

(7) sin xy
fx(x,y)=cos xy = y * cos x
fy(x,y)=cos yx = x * cos y

(8) e^x * sin y
fx(x,y)=e^x * sin y
fy(x,y)=e^x * cos y

(9) x^2 cos xy
積の微分の公式 より、
fx(x,y)=2x * cos xy + x^2(-sin xy) = 2x cos xy -x^2 sin xy
fy(x,y)=x^2 * ( -sin xy) = -x^2 sin xy

以上、適用する公式などにおかしいところがあれば、
ご指導お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

> 先に質問をした回答より、
>fx(x,y)(x^2+y^2+1)=x/√(x^2+y^2+1)
>fy(x,y)(x^2+y^2+1)=y/√(x^2+y^2+1)
これらの式は、理解不能です。
正しい式を書いてください。

>(5) Log √(x^2+y^2+1)
大学数学なら、対数の底を明記してください。
logは自然対数（対数の底はネピア数）である、とか、ln(x),log_e(x)などと書くようにしてください。ln(x)は　natural logarithm of x、自然対数の意味として使われる。
>Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/x
×
>Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/y
×
f(x,y)=ln √(x^2+y^2+1)=(1/2)ln(x^2+y^2+1)
fx(x,y)=(1/2)*(x^2)'/(x^2+y^2+1)=x/(x^2+y^2+1)
同様にして
fy(x,y)=y/(x^2+y^2+1)

>(6) e^(xy)
>fx(x,y)=e^(xy)
×
>fy(x,y)=e^(xy)
×
fx(x,y)=(xy)'*e^(xy)=ye^(xy)
fy(x,y)=(xy)'*e^(xy)=xe^(xy)

>(7) sin xy
>fx(x,y)=cos xy = y * cos x
×
fx(x,y)=y*cos(xy)
>fy(x,y)=cos yx = x * cos y
×
fx(x,y)=x*cos(xy)

>(8) e^x * sin y
>fx(x,y)=e^x * sin y
OK
>fy(x,y)=e^x * cos y
OK

>(9) x^2 cos xy
>fx(x,y)=2x * cos xy + x^2(-sin xy)
×
fx(x,y)=2x*cos(xy) +(x^2)(-y*sin(xy))
=　…

>fy(x,y)=x^2 * ( -sin xy) = -x^2 sin xy
×
fy(x,y)=(x^2){-x*sin(xy)}
=　…

理解の徹底）
fx(x,y)を求めるときはyを定数として変数xについて扱うこと。
fy(x,y)を求めるときはxを定数として変数yについて扱うこと。

お礼

いつも、的確なご指導ありがとうございます。
すみません、こちらの回答への返信と締切をすっかり忘れていました。
大変申し訳ありませんでした。

回答No.3

arrysthmia

偏微分は、他の変数を固定して(= 定数とみなして)、ひとつの変数について微分するのです。
(d/dx) e^(ax) = a e^(ax) なら、たぶん間違えないだろうと思うのですが、
(∂/∂x) e^(xy) だと、これが怪しくなってしまうのは、なぜでしょう？ 同じことなんですがね。
(∂/∂x) sin(xy) も、(8)(9)も、間違えた理由は同様だと思います。

(5)(6)(7)については、合成関数の微分 (∂/∂x) f(t) = { (d/dt) f(t) } (∂t/∂x)
で考えてもよいでしょう。

お礼

解説していただき、ありがとうございます。
私の不注意で、お礼と締切処理ができていませんでした。
みなさんのおかげて大変よくわかりました。ありがとうございました。
ポイントを全員に付与したいのですが、
システム上できないようですので、こちらにはポイントを
つけれないのですが、気持ち的には全員に20pointをつけたいです。

皆さんのおかげで、一時はあきらめてきた解析学の試験問題を
どうにか解くことができました。
見ず知らずの私にいろいろ教えていただき、
本当にお世話になりました。直接会ってお礼ができないのが残念でなりません。
まだ、確率論の試験が残っていますので、またわからない点を
質問するかもしれませんが、懲りずに宜しくお願いします。

回答No.1

owata-www

とりあえず目に付いたところから
(6) e^(xy)
fx(x,y)=e^(xy)→y*e^(xy)
fy(x,y)=e^(xy)→x*e^(xy)

(7) sin xy
fx(x,y)=cos xy = y * cos x→y*cosxy
fy(x,y)=cos yx = x * cos y→x*cosxy

(9) x^2 cos xy
積の微分の公式 より、
fx(x,y)=2x * cos xy + x^2(-sin xy) = 2x cos xy -x^2 sin xy
→fx(x,y)=2x * cos xy + x^2*y(-sin xy) = 2x cos xy -x^2*y sin xy
fy(x,y)=x^2 * ( -sin xy) = -x^2 sin xy
→fy(x,y)=x^2 *x ( -sin xy) = -x^3 sin xy

お礼

丁寧な解説、ありがとうございます。
私の不注意で、お礼と締切をするのを忘れていました。
大変よくわかりました。お世話になりました。