全微分の考え方について

質問

全微分の考え方について

理解が不十分なので教えてください。

先ず定義ですが

Δf=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=fxΔx＋fyΔy+ε(Δx,Δy)…(1)

ただし、
fx、fyは各々で偏微分したもの
εは曲面を接平面で近似した時の誤差とする。

このε(Δx,Δy)がベクトル(Δx,Δy)の距離よりも先に0になると良いので。

lim[(x,y)→(0,0)] ε(x,y)/√(x^2+y^2)…(2)

この(1)(2)が全微分可能の条件である。

具体例でいきますと、
√(1-x^2-y^2)が(0,0)で全微分可能であると示します。細かい計算は省略しますが、

fx=-x/√(1-x^2-y^2),x=0⇒fx=0
fy=-y/√(1-x^2-y^2),y=0⇒fy=0

f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=√(1-(x+Δx)^2-(y+Δy)^2)-√(1-x^2-y^2),
x,y=0⇒=√(1-(Δx)^2-(Δy)^2)-1

定義に代入して√(1-(Δx)^2-(Δy)^2)-1=ε(Δx,Δy)

∴lim {√(1-x^2-y^2)-1}/√(x^2+y^2)=
　lim {√(1－(x^2+y^2))-1}/√(x^2+y^2),分子を有理化して、
　lim {2-(x^2+y^2)}/{√(x^2+y^2)(√(1－(x^2+y^2))+1)},全体を√(x^2+y^2)で除して
　iim {(2-(x^2+y^2))/√(x^2+y^2)}/)(√(1－(x^2+y^2))+1)

lim[(x,y)→(0,0)] {(2-(x^2+y^2))/√(x^2+y^2)}/)(√(1－(x^2+y^2))+1)=0/2=0

以上より全微分可能と言える。

という解釈でよろしいでしょうか？
お手数をかけます。

回答No.1

noname#118938 · ベストアンサー

lim {√(1－(x^2+y^2))-1}/√(x^2+y^2)分子を有理化して、
　lim {2-(x^2+y^2)}/{√(x^2+y^2)(√(1－(x^2+y^2))+1)}
↓
↓
↓
↓
lim -(x^2+y^2)/{√(x^2+y^2)(√(1－(x^2+y^2))+1)} が〇
　　　(x,y)→(0,0)とすると
lim -(x^2+y^2)/{√(x^2+y^2)(√(1－(x^2+y^2))+1)}＝0/2=0
これにより全微分可能が言えた

お礼

書き込みにへの返信が遅れてしまい、申し訳ありません。
参考にさせていただきます。