数学の問題で分らないのがあるので教えてください。

質問

0°≦θ≦90°のとき、sin^3θ+cos^3θのとりうる値の範囲を求めてください。（途中式もお願いします。）

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

0°≦θ≦90°より　0≦sinθ≦1,0≦cosθ≦1
45°≦θ+45°≦135°
t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+45°)
1≦t=sinθ+cosθ≦√2

sin^3θ+cos^3θ=(sinθ+cosθ)(sin^2θ+cos^2θ-sinθcosθ)
=t{(3/2)-(1/2)t^2}
=-(1/2)t(t^2-3) (1≦t≦√2)
ここで増減表を描いて下さい。
それからグラフの概形を描くと添付図のようになります。

f(t)=-(1/2)t(t^2-3) (1≦t≦√2)
とおくと
f(t)が最大になるのはt=1のとき（θ=45°のとき）で最大値f(1)=1
f(t)が最小になるのはt=1のとき（θ=0°,90°のとき）で最大値f(√2)=√2/2

お礼

ありがとうぎざいました。