不等式の証明 数学II

質問

Ａ：文字がすべて正の数であるとき、次の不等式を証明せよ。
（1）Ａ＾３＋Ｂ＾３+Ｃ＾３≧３ＡＢＣ
（２）１）を利用して、Ａ＾３＋９＞６Ａ

（1）は普通に証明できたのですが、（２）の仕方がよくわからないので、どなたかわかる方はご解説おねがいいたします。

Ｂ：Ａ，Ｂ，Ｃが正の数で、Ａ＾２＋Ｂ＾２＝Ｃ＾２の時、Ａ＾３＋Ｂ＾３とＣ＾３の大小関係を比較せよ

この問題は根本的にまったくわかりません。
条件式からＣ＝Ａ＋Ｂ－√２ＡＢとなることはわかったのですが
これを与式に当てはめると、ものすごい大きな数字になって計算がすごくやりにくくなります
それに、（1）を利用して、ということもまったくわからないのでご解説お願いいたします

回答No.1

take_5 · ベストアンサー

＞条件式からＣ＝Ａ＋Ｂ－√２ＡＢとなることはわかったのですが

間違いです。

Ａ.
(1)を利用しろという事ですから、Ａ＾３＋Ｂ＾３+Ｃ＾３≧３ＡＢＣとＡ＾３＋９＞６Ａを比べてみればいいです。
Ｂ＾３+Ｃ＾３＝9、ＢＣ＝2ですから、(Ｂ、Ｃ)＝(2,1)、or、(1,2)とすれば良いだけです。

Ｂ.思いつくだけで4つほど解法があります。そのうちの2つを書いときます。

解法-1
Ａ，Ｂ，Ｃが正の数であるから、Ｃ＾２＝Ａ＾２＋Ｂ＾２を使うと、(Ｃ＾３)＾2-(Ａ＾３＋Ｂ＾３)＾2＝(ＡＢ)＾2*(3Ａ＾２＋3Ｂ＾２-2)＝(ＡＢ)＾2*{2(Ａ＾２＋Ｂ＾２)＋(Ａ-Ｂ)＾2}＞0.

解法-2
Ａ＾２＋Ｂ＾２＝Ｃ＾２より、Ｃ-Ａ＞0、Ｃ-Ｂ＞0.
Ｃ＾３-(Ａ＾３＋Ｂ＾３)＝Ｃ(Ａ＾２＋Ｂ＾２)－(Ａ＾３＋Ｂ＾３)＝(Ａ＾２)(Ｃ-Ａ)＋(Ｂ＾２)(Ｃ-Ｂ)＞0.

お礼

とてもわかりやすいご解説ありがとうございました
すごくよくわかりました
ありがとうございました

回答No.2

rtz

No1さんの回答の補足。

A(2)で、
(1)における等号成立条件はA＝B＝Cだが、
ここではB＝2≠1＝CなのでA^3＋9＝6Aとは成り得ない。
よってA^3＋9＞6A

ですね。

お礼

確かにそうですよね！すごくわかりやすかったです
ありがとうございました！
勉強になりました