【ベクトルと内積】

質問

tを実数とする。
平行四辺形ABCDにおいて、点E,Fは辺AD上にあり、
（以下の等式はベクトルです）
AE=ｔAD、AF＝(1-ｔ)ADをみたす
また、AB=ｂ、AD=ｄ

（１）ベクトルCE=およびCFをｔ、ｂ、ｄで表せ。

（２）∠BAD=60°かつ|b|=|d|=1のとき、
内積CE・CFが最大となるｔの値は？

答え
（１）CE=-ｂ＋（ｔ-１）ｄ、CF=-ｂ+ｔｄ
（２）ｔ＝１/２

解ける方がいらっしゃいましたら
解説お願いしますｍ（＿）ｍ

回答No.1

ferien · ベストアンサー

tを実数とする。
平行四辺形ABCDにおいて、点E,Fは辺AD上にあり、
（以下の等式はベクトルです）
AE=ｔAD、AF＝(1-ｔ)ADをみたす
また、AB=ｂ、AD=ｄ

＞（１）ベクトルCE=およびCFをｔ、ｂ、ｄで表せ。
ＡＣ＝ＡＢ＋ＡＤ＝ｂ＋ｄ，ＡＥ＝ｔｄ，ＡＦ＝（１－ｔ）ｄ
ＣＥ＝ＡＥ－ＡＣ
＝ｔｄ－（ｂ＋ｄ）
＝－ｂ＋（ｔ－１）ｄ
ＣＦ＝ＡＦ－ＡＣ
＝（１－ｔ）ｄ－（ｂ＋ｄ）
＝－ｂ－ｔｄ

＞（２）∠BAD=60°かつ|b|=|d|=1のとき、
＞内積CE・CFが最大となるｔの値は？
ｂ・ｄ＝｜ｂ｜｜ｄ｜cos∠BAD
＝１・１・cos60°
＝１／２
ＣＥ・ＣＦ＝｛－ｂ＋（ｔ－１）ｄ｝・（－ｂ－ｔｄ）
＝｜ｂ｜^2＋ｔ（ｂ・ｄ）－（ｔ－１）（ｂ・ｄ）－ｔ（ｔ－１）｜ｄ｜^2
＝１＋１／２－ｔ^2＋ｔ
＝－（ｔ^2－ｔ＋１／４）＋１／４＋３／２
＝－（ｔ－１／２）^2＋７／４
よって、内積が最大になるのは、ｔ＝１／２のとき