高校数学Ｂ・ベクトルについて

質問

数学Ｂのベクトルの問題を解いています。
問題集の中の１問なのですが、詳解書では問題の途中式が殆ど省かれているため、ほぼ答えしか分らない状態です。
どうか途中式を教えて頂きたいです。
問題の下に書いているのは、詳解書に書かれていた途中式です。

[問]平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、辺ＢＣの中点をＰとすると、ＡＰＬＢＣ、ＡＣＬＤＰである。次の問に答えよ。

(1)ＡＢ：ＡＤを求めよ。

ベクトルＡＢ＝ベクトルd,ベクトルＡＤ＝ベクトルdとする。
（以下、ベクトルは[べ]と表記します）
ＡＰＬＢＣより、２[ベ]ｂ+[ベ]ｄ÷２×[ベ]ｄ＝０　…(1)
ＡＣＬＤＰより、([ベ]ｂ+[ベ]ｄ)×２[ベ]ｂ-[ベ]ｄ÷２＝０　…(2)
(1),(2)より、４[絶対値][ベ]ｂ[絶]の２乗＝３[絶][ベ]ｄ[絶]の２乗

答え）√3：２

(2)cos∠ＢＡＤの値を求めよ。

(1)より、[絶][ベ]ｂ[絶]＝√３÷２[絶][ベ]ｄ[絶]

答え）－１÷√３

（１）は、「(1)・(2)より」から先の等式にするまでの計算式が分りません。
(1)・(2)の左辺を＝でつないで計算してみましたが、何度やってもうまくいきません。
計算の中でどうしても[ベ]ｂ×[ベ]ｄが残ってしまいます。

（２）は、途中式を出すところまでは計算できたましたが、そこからどうすれば答えが導けるのかが分りません。

どなたか教えて下さい。お願いします。

回答No.2

fukuda-h · ベストアンサー

記号が混乱するので[ベ]ｂを単にb,[ベ]ｄをd,
内積を記号・としましょう.掛算は×を使いましょう
[ ]は大きいカッコです

少し記号を整理して
ＡＰ⊥ＢＣより、((２ｂ+ｄ)/２)・ｄ＝０　…(1)
ＡＣ⊥ＤＰより、(ｂ+ｄ)・[(２ｂ-ｄ)/２]＝０　…(2)
となります。そのままです。
(1)から内積を計算してもう少し簡単にします。
2(b・d)+(d・d)=0
よって(b・d)=-(d・d)×（1/2）・・・・(3)これがポイントです。
(2)も内積を計算して
(b+d)・(2b-d)=0
2(b・b)+(b・d)-(d・d)=0
ここへ(3)を代入して(b・d)を消去します。
2(b・b)=(3/2)×(d・d)
4(b・b)=3(d・d)
2|b|=√3×|d|
|b|:|d|=√3:2

さて、後半は内積b・d＝|b||d|cos∠ＢＡＤに先ほどの結果と(3)を使います。
まず、（３）を代入して
b・d＝|b||d|cos∠ＢＡＤ＝(-1/2)(d・d)=(-1/2)|d||d|
前全問の結果から|b|=(√3/2)|d|を代入して
（√3/2)|d||d|cos∠ＢＡＤ=(-1/2)|d||d|
これから求まりますね。

お礼

早速教えて頂いてとても助かりました。
本当にありがとうございました！

回答No.3

Tacosan

ちなみに (2) については, 図を描けば cos ∠ABC = 1/√3 はほとんど自明です. で平行四辺形ってことは∠BAD + ∠ABC = π なので cos ∠BAD = cos (π - ∠ABC) = -cos ∠ABC = -1/√3.

お礼

なるほど！そういう考え方もあるのですね。
早速のご回答、本当にありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

なんというか, まず「正確に式を書く」ところから始めてほしいなぁ. このままの式だと通じないよ....
手元で計算する限りきちんと答えまでいくはずです. あなたがどのように計算したのかを書いてもらえませんか? b と d はベクトルだとわかるのでそのまま, 絶対値も |x| という形にして, 2乗は ^2 で書いてみてください. ちゃんとかっこも忘れずに.

お礼

ご意見ありがとうございました。
パソコンでの書き方が分らなかったため、こんな書き方になってしまいました。
申し訳ないです；
教えて頂いてありがとうございました。