空間ベクトルの質問です

質問

一辺が長さ1の立方体ABCD-EFGHにおいて、ベクトルAB，ベクトルAD、ベクトルAEをそれぞれ、ベクトルa、ベクトルb、ベクトルcとする。線分CFを2:1に内分する点をP、線分APをt:(1-t)に内分する点をQとする。ただし、0<t<1。

(1)ベクトルAP、ベクトルCQをベクトルa、ベクトルb、ベクトルcを用いて表せ。

(2)AP⊥CQとなるときtの値。

解き方の導入からわかりません。よろしくお願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

立方体なので、あちこちに同じベクトルがあります。

まず、
ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ、ＨＧは平行で長さも等しいので、
ａ→　＝　ＡＢ→　＝　ＤＣ→　＝　ＥＦ→　＝　ＨＧ→　・・・（あ）
同様に、
ｂ→　＝　ＡＥ→　＝　ＢＦ→　＝　ＣＧ→　＝　ＤＨ→　・・・（い）
ｃ→　＝　ＡＤ→　＝　ＢＣ→　＝　ＥＨ→　＝　ＦＧ→　・・・（う）

（１）
まず、ＡＰ→　です。
Ａを基点（原点Ｏと考えてください）とした位置ベクトルを考えると、
ＡＰ→　＝　ＡＣ→　＋　ＣＰ→
　＝　ＡＣ→　＋　２／３・ＣＦ→　・・・★ＣＰ→はＣＦ→を２／３：１／３に分けたうちの２／３の方だから
　＝　（ＡＢ→　＋　ＢＣ→）　＋　２／３（ＣＢ→　＋　ＢＦ→）
ですよね。
（ＡからＢに寄ってＣにゴールするのはＡＢ→、ＣからＢに寄ってＦにゴールするのはＣＦ→）

ここで、（あ）、（い）、（う）より
ＡＰ→　＝　（ａ→　＋　ｃ→）　＋　２／３（－ｃ→　＋　ｂ→）
　＝　ａ→　＋　２／３・ｂ→　＋　１／３・ｃ→　（こたえ）・・・（え）

次に、ＣＱ→　です。
まず、
ＡＣ→　＝　ＡＢ→　＋　ＢＣ→
　＝　ａ→　＋　ｂ→　・・・（お）
です。
次に、Ａを基点に考えて、ＡＰを　ｔ：（１－ｔ）　に内分するのが点Ｑなので、
ＡＱ→　＝　ｔ／｛ｔ＋（１－ｔ）｝ＡＰ→
　＝　ｔＡＰ→
（え）を代入して
　＝　ｔ（ａ→　＋　２／３・ｂ→　＋　１／３・ｃ→）
以上のことから
ＣＱ→　＝　ＡＱ→　－　ＡＣ→
　＝　ｔ（ａ→　＋　２／３・ｂ→　＋　１／３・ｃ→）　－　（ａ→　＋　ｂ→）
　＝　（ｔ－１）ａ→　＋　（２ｔ／３－１）ｂ→　＋　ｔ／３・ｃ→
（こたえ）

（２）
ＡＰ⊥ＣＱ　ということは、内積　ＡＰ→・ＣＱ→　がゼロということです。

まず、ａ→、ｂ→、ｃ→　の３つは、すべて同じ長さで、かつ、互いに垂直です。
ですから、
ａ→＝（ｒ，０，０）、ｂ→＝（０，ｒ，０）、ｃ→＝（０，０，ｒ）
というふうに成分表示することができます。（ｒは立方体の辺の長さ）
つまり、
ＡＰ→　＝　ａ→　＋　２／３・ｂ→　＋　１／３・ｃ→
　＝　（ｒ，０，０）　＋　２／３（０，ｒ，０）　＋　１／３（０，０，ｒ）
　＝　（ｒ，　２／３・ｒ，　１／３・ｒ）
であり、
ＣＱ→　＝　（ｔ－１）ａ→　＋　（２ｔ／３－１）ｂ→　＋　ｔ／３・ｃ→
　＝　（ｔ－１）（ｒ，０，０）　＋　（２ｔ／３－１）（０，ｒ，０）　＋　ｔ／３（０，０，ｒ）
　＝　（ｒ（ｔ－１），　ｒ（２ｔ／３－１），　ｒ（ｔ／３））

内積は、Ｘ成分どうし、Ｙ成分どうし、Ｚ成分どうしを掛け算したものを足せばよいので、
ＡＰ→・ＣＱ→　＝　ｒ^2（ｔ－１）　＋　ｒ^2・２／３・（２ｔ／３－１）　＋　ｒ^2・１／３・ｔ／３
　＝　９ｒ^2｛　９（ｔ－１）　＋　２（２ｔ－３）　＋　ｔ　｝

ＡＰ⊥ＣＱ　のためには、内積がゼロになればよいので、
９ｒ^2｛　９（ｔ－１）　＋　２（２ｔ－３）　＋　ｔ　｝　＝　０
９（ｔ－１）　＋　２（２ｔ－３）　＋　ｔ　＝　０
９ｔ　－　９　＋　４ｔ　－　６　＋　ｔ　＝　０
１４ｔ　－　１５　＝　０
ｔ　＝　１５／１４　（こたえ）

私は計算ミスが多いので、検算してください。

お礼

とても助かります。

ありがとごさいました。