極限の問題です

質問

ｘが1に近づくとき下の式の極限値を求めなさい
cos(πx/2)/（1-ｘ＾2）　　
コス二分のパイエックス割る1マイナスエックスの二乗

答えはπ/4なのですがなぜそうなるのかが解りません。
よろしくお願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足の質問の回答

>=-lim(t→0) [cos((π/2)t)cos(π/2)-sin((π/2)t)sin(π/2)]/(t(t+2)）
=-lim(t→0) [cos((π/2)t)・0-sin((π/2)t)・1]/(t(t+2)）
=-lim(t→0) -sin((π/2)t)/(t(t+2)）
=-lim(t→0) -sin((π/2)t)/t・1/(t+2)）
公式：t→0のときf(t)→f(0),g(t)→g(0)のとき　lim(t→0) f(t)・g(t)=f(0)g(0)を適用
=-lim(t→0) -sin((π/2)t)/t・lim(t→0)1/(t+2)）
=-lim(t→0) -sin((π/2)t)/t・(1/2)
>=-lim(t→0) -sin((π/2)t)/(2t)
以上、分母の2が現れる計算過程の詳細でした。

お礼

なるほど、よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.1

info222_

L=lim(x→1) cos(πx/2)/(1-ｘ^2）

[解答] ロピタルの定理を適用する解法
0/0型なのでロピタルの定理が適用できて
L=lim(x→1) (cos(πx/2))'/(1-ｘ^2)'
=lim(x→1) -(π/2)sin(πx/2)/(-2ｘ）
=(π/4)lim(x→1) sin(πx/2)/x
=(π/4)sin(π/2)/1
=π/4

[別解]
x-1=tとおくと　x→1のとき t→0なので
L=lim(t→0) cos((π/2)(t+1))/(-t(t+2))
=-lim(t→0) cos((π/2)t+(π/2))/(t(t+2))
=-lim(t→0) [cos((π/2)t)cos(π/2)-sin((π/2)t)sin(π/2)]/(t(t+2)）
=-lim(t→0) -sin((π/2)t)/(2t)
(π/2)t=uとおくと t→0のとき u→0なので
=lim(t→0) sin(u)/(4u/π)
=(π/4)lim(t→0) sin(u)/u
=π/4

お礼

回答ありがとうございました。
[別解]の4行目から5行目で分母の(t(t+2))が(2t)に変わっていますが、なぜそうなるのか解りません。説明してもらえないでしょうか。よろしくお願いします。