極限の問題についてです。

質問

次の極限をもとめよ。

(１)lim(x→2){x-√x+2}/x-2

(２)lim(x→0){1-cos2x}/x^2

(３)lim(x→∞){x/2}*{log(x+1)-logx}

(４)lim(x→∞)sinx/x

これらの回答のほうおねがいします＞＜

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

分かる範囲で自力解答を添えて質問しましょう。
式の書き方も正しく伝わる書き方にするように！

(１)lim(x→2){x-√(x+2)}/(x-2)
分子の有理化をして
　=lim(x→2){x-√(x+2)}{x+√(x+2)/[(x-2){x+√(x+2)}]
　=lim(x→2){x^2 -(x+2)}/[(x-2){x+√(x+2)}]
　=lim(x→2)(x-2)(x+1)/[(x-2){x+√(x+2)}]
　=lim(x→2)(x+1)/{x+√(x+2)}
　=(2+1)/(2+2)
　=3/4

(２)lim(x→0){1-cos(2x)}/x^2
２倍角の公式を用いて
　=lim(x→0) 2sin^2(x)/x^2
　=lim(x→0) 2{sin(x)/x}^2
　=2

(３)lim(x→∞){x/2}*{log(x+1)-log(x)}
x=1/tで置換すると
　=lim(t→+0)(1/2)*{log((1/t)+1)-log(1/t)}/t
　=(1/2)lim(t→+0){log((1/t)+1)+log(t)}/t
　=(1/2)lim(t→+0){log((1+t)}/t
　=(1/2)lim(t→+0){log((1+t)-log(1)}/{(1+t)-1}
log(1+t)の微分の定義なので
=(1/2)lim(t→+0){log(1+t)}'
　=(1/2)lim(t→+0){1/(1+t)}
　=1/2

(４)lim(x→∞)sin(x)/x
はさみ内法を用いて
0≦|sin(x)/x|≦|1/x|
0≦lim(x→∞)|sin(x)/x|≦lim(x→∞)|1/x|=0
∴lim(x→∞)|sin(x)/x|=0
∴lim(x→∞)sin(x)/x=0