またまた数学の問題が解けません。解法を教えてください(>人<)

質問

またまた数学の問題が解けません。解法を教えてください(>人<)

aを定数とする。xについての方程式cos^2x+2asinx-a-1=0の0<=(以上)x<2π(未満)における異なる実数解の個数を求めよ。
です。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

Ｎｏ.1　氏も気がついてないようだが、sinx＝t　(｜t｜≦1)と置いても、xとtが1対1に対応するとは限らない。
そこが、この種の問題の落とし穴。。。。。。。。ｗ
具体的に言うと、t＝1/2　とすると、x＝π/6、5π/6　となり、その対応は1対2ということになる。
つまり、条件を満たすtの個数が1個でも、xの個数1個とは限らないという事。
tの個数を求めるのではなく、xの個数を求めるんだということが、わかってないようだ。

sinx＝t　(｜t｜≦1)とすると、条件から　t＾2＝2a(t-1/2)と変形できる。
y＝t＾2＝2a(t-1/2)とすると、放物線：y＝t＾2　と直線：y＝2a(t-1/2)の交点の個数として、tの個数が求められる。
そこで、傾きがどう変化するかを見ると　｜t｜≦1から
Ａ1、1)を通るとき、a＝1、Ｂ(-1、1)を通るとき　a＝-1/3　y＝t＾2に接する時　a＝1、0　でこれで条件は全て揃った。
0≦x＜2π だから、xとtの対応は　t＝±1　以外では　全て1対2になる事に注意して、後は答案をまとめるだけ。

xとtの対応が、1対1　とは限らない事には　くれぐれも注意すること。

お礼

ありがとうございました。助かりましたo(^-^)o

回答No.1

gohtraw

まず、ｃｏｓ＾２ｘ＝１－ｓｉｎ＾２ｘ　と置き換えます。さらにｓｉｎｘ＝ＸとでもおいてＸの二次方程式にしてやると、ａの値による場合分けで解の個数が判ります。ただしこれはあくまでＸ（ｓｉｎｘ）についてのことです。題意より－１＜＝ｓｉｎｘ＜＝１、つまり－１＜＝Ｘ＜＝１が満たされない場合はｘについては「実解なし」とする必要があります。

お礼

ありがとうございました。とても助かりましたo(^-^)o