極限の問題で

質問

lim(x→0）（x^2－1＋cos^2x）／x^4
の問題の解き方が分かりません。
lim(x→0）ｘ／sinx＝１
の形を使って解く気がするんですけど、分母が４乗になっているのでどうやって変形していけばいいのかわかりません。どなたか教えてください！

回答No.5

gil3141 · ベストアンサー

倍角公式から
cosx＝cos^2(x/2)－sin^2(x/2)
＝1－2sin^2(x/2)ですね。
従って、
問題の式の分子＝x^2－1＋{1－2sin^2(x/2)}^2
となります。x/2＝tとおくと、
問題の式の分子＝4t^2－1＋{1－2sin^2(t)}^2
問題の式の分母＝16t^4ですね。
問題の式の分子を展開すると、各項のうち、
4sin^2(t)以外の項は、すべて分母で割ると０に
収束します。
4sin^4(t)を分母の16t^4で割ると、この項は、
lim(x→0）ｘ／sinx＝１
から、１／４に収束します。
よって、ロピタルの定理を使わなくても、極限値
は１／４だとわかります。

お礼

なるほど！思いつきませんでした！とても参考になりました！感謝です！ありがとうございました！

回答No.6

gil3141

すみません、No.５の回答で、
＞4sin^2(t)以外の項は、すべて分母で割ると０に
＞収束します。
は、
＞4sin^4(t)以外の項は、すべて分母で割ると０に
＞収束します。
の間違いです。申し訳ありません。

それから、No.４さんの回答で、
＞=lim(x→0)（2x-2sin^2x）／(4x^3)　←0/0の不定形
の「-2sin^2x」は、「-2sinxcosx」のような気が
しますが、どうでしょうか。

回答No.4

oyaoya65

A#2さんの回答のように
不定形の極限は「ド・ロピタルの定理」に従い、
不定形が解消されるまで、分子・分母を繰り返し微分していけば、最後には極限が確定します。

ド・ロピタルの定理
http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/lopital.htm
lim(x->0)g(x)/f(x)=lim(x->0)g'(x)/f'(x)

lim(x→0)（x^2－1＋cos^2x）／x^4　←0/0の不定形
=lim(x→0)（2x-2sin^2x）／(4x^3)　←0/0の不定形
=lim(x→0)（2-4cos^2x）／(12x^2)　←(-2)/(0+)型

lim(x→0）ｘ／sinx　←0/0の不定形
=lim(x→0）1／cosx　←1/1型

後は分かりますね。

お礼

ありがとうございました！ド・ロピタルの定理の定理は知らなかったのでためになりました！

回答No.3

debut

No1です。
　申し訳ありませんでした。完全に早とちりでした。
　Ｎｏ１は無視してください。
　本当にすみませんでした。

回答No.2

endlessriver

かなりしつっこい、不定形の極限なのでロピタルの定理を繰り返せばよいのでは。気長に。

補足

ありがとうございました！分かりました！

回答No.1

debut

変形　（x^2－1＋cos^2x）／x^4＝{x^2-(1-cos^2x)}/x^4
　　　　　　　　　　　　　　　＝(x^2-sin^2x)/x^4
　　　　　　　　　　　　　　　＝{(x^2-sin^2x)/x^2}*(1/x^2)
　　　　　　　　　　　　　　　＝{x^2/x^2-sin^2/x^2}*(1/x^2)
　　　　　　　　　　　　　　　＝{1-(sinx/x)^2}*(1/x^2)

とすればいいような。

補足

回答ありがとうございます。
結局、最後の行の
＝{1-(sinx/x)^2}*(1/x^2)
の形では
不定形が解消されていないので、駄目なのでは？

私のsinx/xのかたちにもっていけば解けるというのはただの予想なので、すみません。