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数学の問題です
この問題、解いてもらえないでしょうか 途中式もお願いします・・・ 問題:2つの整数P(x)=(x-3)(2x+a)とQ(x)=x^3-3x^2+bx+cがある。P(x)をx-1で割った余りは-6であり、Q(x)はx^2+2で割り切れる。ただしa,b,cは定数とする。 (1)aの値を求めよ。 (2)Q(x)をx^2+2で割った商を求めよ。また、b,cの値をそれぞれ求めよ。 (3)kを定数とする、xの方程式kP(x)+Q(x)=0の異なる実数解の個数がちょうど2個であるとき、kの値を求めよ
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ANo.2/3です。 bを除いて、一応答えには辿り着いたようですね。 後は途中の説明にあるおかしなところを直していきましょう! >(2) (x-α)(x^2+2)=x^3-αx^2-2x-2α これをQ(x)=x^3-3x^2+bx+cと係数比較して α=3 よって商はx-3 またb=-2,c=-6 展開した式x^3-αx^2-2x-2αのxの係数が誤ったままです。それとbの値を直して下さい。 >(3) >P(x)=(x-3)(2x+1)、Q(x)=(x-3)(x^2+2) >kP(x)+Q(x)=(x-3){(2x+1)+(x^2+2)}=0 (x-3)(x^2+2kx+k+2)=0 >ここでx^2+2kx+k+2をR(x)と置く。 >(i)R(x)が重解βを持つとき(β≠3) >題意よりx^2+2kx+k+2=0 D/4=k^2-k-2-=0 (k-2)(k+1)=0 k=2、-1 ここまではOKです。 >R(2)=9+12+1>0,R(-1)=9-6+1>0よりβ≠3を満たす。 ここでR(x)に判別式から求めたkの値を入れても意味がありません。 R(3)=7k+11から、k=2のときもk=-1のときも0にならないことを示して下さい。 >(ii)R(x)が異なる2つの実数解を持ち、その1つが3のとき >D/4=k^2-k-2->0 (k-2)(k+1)=0 k<-1,2<k >R(3)=0より 9+6k+k+2=0 k=-11/7 これはk<-1を満たす >よってk=2,-1,-11/7 >こんな感じでしょうか! OKです! あともう少しですね! 頑張ってね!
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- Mr_Holland
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ANo.1です。 >(2) (x-α)(x^2+2)=x^3-αx-2x-2α これをQ(x)と係数比較して α=3 よって商はx-3 またb=-2,c=-6 αはOKですが、展開した式に誤りがあるのでbが違っています。見直してください。 >(3) >P(x)=(x-3)(2x+1)、Q(x)=(x-3)(x^2+2) >kP(x)+Q(x)=(x-3){(2x+1)+(x^2+2)}=0 (x-3)(x^2+2kx+k+2=0)=0 >題意よりx^2+2kx+k+2=0 D/4=k^2-k-2-=0 (k-2)(k+1)=0 k=2、-1 >↑異なることを吟味しなきゃいけないから >判別式じゃなくて解の公式を使わないといけないんですかね? >-k±√k^2-k-2 にどちらも代入して3以外ってことを確かめなきゃいけない・・んですかね? R(x)=x^2+2kx+k+2=0 がx=3と異なる解をもつことを示すには、解の公式で確かめてもいいですが、少し手間がかかります。ですので、R(x)にx=3を代入したとき0にならないこと(R(3)≠0)を示せば良いです。 >それと場合わけがよくわからないです・・・ >(x-3)=0は確定じゃないんですかね・・? その通り。kP(x)+Q(x)=0の1つの解はx=3で確定です。 次にR(x)=0を考えるわけですが、R(x)=0が重解をもつとき、その重解がx=3だったらどうなるでしょう。kP(x)+Q(x)=0の解はx=3という3重解(実数解の個数がちょうど1個)になってしまいます。これではいけませんので重解をもつ条件にR(3)≠0を付け足す必要があります。(たまたまここで求めるkの値には影響しませんが。) そして、R(x)=0が異なる2実数解をもつときですが、x=3とx=β(β≠3)という解をもつときも問題の条件を満たしますよね。(kP(x)+Q(x)=0の解はx=3,β(β≠3)) ですから、この場合も考えておく必要があります。 これらを式としてまとめたものがANo.2です。 もしまだ釈然としないものがあるようでしたら、ANo.2のケースii)のときのkを求めてkP(x)+Q(x)=0の解を求めてみてください。実際に代入して確かめておくと実感がもちやすいかも知れません。
補足
(2) (x-α)(x^2+2)=x^3-αx^2-2x-2α これをQ(x)=x^3-3x^2+bx+cと係数比較して α=3 よって商はx-3 またb=-2,c=-6 (3) P(x)=(x-3)(2x+1)、Q(x)=(x-3)(x^2+2) kP(x)+Q(x)=(x-3){(2x+1)+(x^2+2)}=0 (x-3)(x^2+2kx+k+2)=0 ここでx^2+2kx+k+2をR(x)と置く。 (i)R(x)が重解βを持つとき(β≠3) 題意よりx^2+2kx+k+2=0 D/4=k^2-k-2-=0 (k-2)(k+1)=0 k=2、-1 R(2)=9+12+1>0,R(-1)=9-6+1>0よりβ≠3を満たす。 (ii)R(x)が異なる2つの実数解を持ち、その1つが3のとき D/4=k^2-k-2->0 (k-2)(k+1)=0 k<-1,2<k R(3)=0より 9+6k+k+2=0 k=-11/7 これはk<-1を満たす よってk=2,-1,-11/7 こんな感じでしょうか!
- Mr_Holland
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ANo.1のgohtrawさんが良いヒントを出してくれています。 すぐに訂正されると思いますが、一言だけ。 設問(3)のR(x)=0については次の場合分けが必要です。 i) x=-αと異なる重解をもつとき (判別式)=0, R(-α)≠0 ii) 2実解をもち、そのうちの1つがx=-αのとき (判別式)>0, R(-α)=0
お礼
問題:2つの整数P(x)=(x-3)(2x+a)とQ(x)=x^3-3x^2+bx+cがある。P(x)をx-1で割った余りは-6であり、Q(x)はx^2+2で割り切れる。ただしa,b,cは定数とする。 (1) 剰余の定理よりP(1)=-2a-4 題意より -2a-4=-6 a=1 (2) (x-α)(x^2+2)=x^3-αx-2x-2α これをQ(x)と係数比較して α=3 よって商はx-3 またb=-2,c=-6 (3) P(x)=(x-3)(2x+1)、Q(x)=(x-3)(x^2+2) kP(x)+Q(x)=(x-3){(2x+1)+(x^2+2)}=0 (x-3)(x^2+2kx+k+2=0)=0 題意よりx^2+2kx+k+2=0 D/4=k^2-k-2-=0 (k-2)(k+1)=0 k=2、-1 ↑異なることを吟味しなきゃいけないから 判別式じゃなくて解の公式を使わないといけないんですかね? -k±√k^2-k-2 にどちらも代入して3以外ってことを確かめなきゃいけない・・んですかね? それと場合わけがよくわからないです・・・ (x-3)=0は確定じゃないんですかね・・?
- gohtraw
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(1)P(x)にx=1を代入し、その時の値を6とすればaが出ます。剰余定理ですね。 (2)求める商をx+αとでもおき、 Q(x)=(x+α)(x^2+2)=x^3-3x^2+bx+c を展開して係数を比較すればα、b、cが出ます。 (3)上記よりP(x)とQ(x)は共通因数(x+α)を持つことが判るはずです。するとkP(x)+Q(x)は(x+α)とR(x)の積で表されます(R(x)はkを含むxの二次式)。kP(x)+Q(x)=0の一つの解はーαなので、もう一つはR(x)=0とした時の解です。これが重解になればいいので・・・?
補足
(2) (x-α)(x^2+2)=x^3-αx^2+2x-2α これをQ(x)=x^3-3x^2+bx+cと係数比較して α=3 よって商はx-3 またb=2,c=-6 (3) P(x)=(x-3)(2x+1)、Q(x)=(x-3)(x^2+2) kP(x)+Q(x)=(x-3){(2x+1)+(x^2+2)}=0 (x-3)(x^2+2kx+k+2)=0 ここでx^2+2kx+k+2をR(x)と置く。 (i)R(x)が重解βを持つとき(β≠3) 題意よりx^2+2kx+k+2=0 D/4=k^2-k-2-=0 (k-2)(k+1)=0 k=2、-1 R(3)=9+6k+k+2=7k+11 これをS(x)とする S(2)>0,S(-1)>0よりβ≠3を満たす (ii)R(x)が異なる2つの実数解を持ち、その1つが3のとき D/4=k^2-k-2->0 (k-2)(k+1)=0 k<-1,2<k R(3)=0より 9+6k+k+2=0 k=-11/7 これはk<-1を満たす よってk=2,-1,-11/7 やっと終わりそうです!