対数の中のaの最大値

質問

f(x) = log[2](-x^2+3x-2) + log[1/2](ax)の最大値が1となるようなaの値を求めよ

どうやって解くか教えてください

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

真数＞０より　-(x^2 +3x +2)=-(x-1)(x-2)>0　∴ 1<x<2
x>0　だから a.>0

底を２に統一して
f(x)=log(-x^2 +3x -2) -logax=log(-x^2+3x-2)/(ax)　：以下底の２省略

g(x)=(-x^2+3x-2)/(ax) とおくと
g ' (x)=-(x^2-2)/ax^2
増減表を作って， 1<x<2　で x=√2　でg(x)の最大値　g(√2)=(3-2√2)/a

log((3-2√2)/a)=1　になればよいので
(3-2√2)/a　=2
∴ a= (3-2√2)/2

分数関数の微分を習っていなければ
(1/a)(-x+3-2/x)　として
x+(2/x)≧２√２，等号成立は　ｘ＝√２
が使えると思います。

お礼

遅くなってすみません
ありがとうございました

回答No.4

info22_

f(x) = log[2](-x^2+3x-2) + log[1/2](ax)
対数の真数条件から
-x^2+3x-2=-(x-1)(x-2)>0 → 1<x<2 ...(1)
ax>0 → (1)より　a>0 ...(2)
(1),(2)のとき
f(x)=log[2](-x^2+3x-2) + log[1/2](ax)
=log[2](-(x-1)(x-2)) - log[2](ax)
=log[2](-(x-1)(x-2)/(ax))≦1=log[2]2
底が2で１よリ大きいから対数の大小は真数の大小と同じなので
　0<-(x-1)(x-2)/(ax)≦2　
a>0,x>1なので
　0<-(x-1)(x-2)≦2ax
(x-1)(x-2)/x≧-2a
　x+2/x-3≧-2a
　x+2/x≧3-2a
相加平均・相乗平均の関係より
　x+2/x≧2√2
故に 2√2=3-2aとなればよい。
∴a=(3-2√2)/2

お礼

すみません 遅くなってしまいました
ありがとうございました

回答No.3

ferien

＞f(x) = log[2](-x^2+3x-2) + log[1/2](ax)の最大値が1となるようなaの値を求めよ
真数条件より、－ｘ^2＋３ｘ－２＞０，ａｘ＞０
ｘ^2－３ｘ＋２＝（ｘ－１）（ｘ－２）＜０より、１＜ｘ＜２　……（１）
ｘの範囲から、ａ＞０
底２でそろえると、
ｆ(x)＝log[2]（－ｘ^2＋３ｘ－２）＋log[2]ａｘ／log[2](1/2)　
log[2](1/2)＝log[2]２^(-1)＝－１より、
＝log[2]（－ｘ^2＋３ｘ－２）－log[2]ａｘ
＝log[2]｛（－ｘ^2＋３ｘ－２）／ａｘ｝
ｇ(x)＝｛（－ｘ^2＋３ｘ－２）／ａｘとおく。
ｇ'(x)＝｛（－２ｘ＋３）・ａｘ－（－ｘ^2＋３ｘ－２）・ａ｝／ａ^2ｘ^2
＝－ａ（ｘ^2－２）／ａ^2ｘ^2
ｇ'(x)＝０より、ｘ^2ー２＝０　（１）より、ｘ＝√２　
増減表を作ると、１＜ｘ＜２の範囲で、
ｘ＝√２のとき、極大かつ最大だから、ｇ(x)の最大値ｇ（√２）＝（３－２√２）／ａ
このとき、ｆ(x)の最大値が１になれば良い。｛（３－２√２）／ａ｝＞０だから、
ｆ(x)＝log[2]｛（３－２√２）／ａ｝＝１＝log[2]２より、
（３－２√２）／ａ＝２
よって、ａ＝(1/2)（３－２√２）

になりました。どうでしょうか？

お礼

遅くなってしまってすみません
ありがとうございました

回答No.1

Tacosan

真数と対数の振る舞いの関係を考える.

お礼

すみません、遅くなりました
ありがとうございました